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en:Rank (linear algebra) 18:37, 29 June 2017 一部訳 |
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{{出典の明記|date=2017年7月}}
[[線型代数学]]における[[行列]]の'''階数'''(かいすう、{{lang|en|''rank''}}; '''ランク''')は、行列のもっとも基本的な特性数 (characteristic) の一つで、その行列が表す[[線型方程式系]]および[[線型変換]]がどのくらい「非退化」であるかを示すものである。行列の階数を定義する方法は同値なものがいくつもある。
例えば、行列 {{mvar|A}} の階数 {{math|rank(''A'')}}(あるいは {{math|rk(''A'')}} または丸括弧を落として {{math|rank ''A''}})は、{{mvar|A}} の[[列空間]](列ベクトルの張るベクトル空間)の[[次元 (線型代数学)|次元]]<ref>Bourbaki, ''Algebra'', ch. II, §10.12, p. 359</ref>に等しく、また {{mvar|A}} の[[行空間]]の次元<ref name="mackiw">{{Citation | last= Mackiw | first= G. | title= A Note on the Equality of the Column and Row Rank of a Matrix | year= 1995 | journal= [[Mathematics Magazine]] | volume= 68 | issue= 4 | ref= harv}}</ref>とも等しい。行列の階数は、対応する線型写像の階数である。
== 定義 ==
任意の与えられた行列 {{mvar|A}} に対して以下は何れも互いに同値である
*
文献により、上記の条件の何れかを以って行列 {{mvar|A}} の階数は定義される。
=== 注意 ===
▲* ''A''の列ベクトルの線型独立なものの最大個数(このページでの定義)
いま {{mvar|A}} の列空間の次元を「列階数」、行空間の次元を「行階数」と呼べば、[[線型代数学の基本定理|線型代数学における基本的な結果]]の一つとして、列階数と行階数は常に一致するという事実が成立するから、それらを単に {{mvar|A}} の階数と呼ぶことができる。これについて、{{harvtxt|Wardlaw|2005}}<ref name="wardlaw">{{Citation | last= Wardlaw | first= William P. | title= Row Rank Equals Column Rank | year= 2005 | journal= [[Mathematics Magazine]] | volume= 78 | issue= 4 | ref= harv}}</ref> はベクトルの[[線型結合]]の基本性質に基づく短い証明を与えた(これは任意の[[可換体|体]]上で有効である)。また、{{harvtxt|Mackiw|1995}}<ref name="mackiw" />は[[実数]]体上の行列に対して有効な、[[直交性]]を用いたエレガントな別証明を与えている。両証明とも教科書 {{harvtxt|Banerjee|Roy|2014}}<ref name="banerjee-roy">{{Citation | last = Banerjee | first = Sudipto | last2 = Roy | first2 = Anindya | date = 2014 | title = Linear Algebra and Matrix Analysis for Statistics | series = Texts in Statistical Science | publisher = Chapman and Hall/CRC | edition = 1st | isbn = 978-1420095388 | ref= harv}}</ref> に出ている。
▲* ''A''の行ベクトルの線型独立なものの最大個数
▲* ''A''に[[行列の基本変形|基本変形]]を施して[[階段行列]]''B''を得たとする。このときの''B''の零ベクトルでない行(または列)の個数(階段の段数とも表現される)
▲* 表現行列''A''の[[線型写像]]の像空間の[[次元]]。詳しくは[[#線型写像の階数]]を見られたし。
▲* ''A''の 0 でないような[[行列式#小行列式|小行列式]]の最大サイズ
▲* ''A''の[[特異値]]の数
== 性質 ==
=== 一般の体上 ===
* {{math|''m'' × ''n''}} 行列の階数は[[非負整数]]で、{{mvar|m, n}} の何れも超えない。すなわち {{math|rank(''A'') ≤ min(''m'', ''n'')}} が成り立つ。特に {{math|1=rank(''A'') = min(''m'', ''n'')}} のとき、{{mvar|A}} は'''最大階数'''(''full rank''; '''フルランク'''; '''充足階数'''、完全階数)を持つとかフルランク行列などといい、さもなくば{{mvar|A}} は{{ill2|階数落ち|en|rank deficient|preserve=1}} (rank deficient; 階数不足) であるという。
* {{mvar|f}} が[[単射]]となるための必要十分条件は、{{math|1=rank(''A'') = ''n''}}(これを {{mvar|A}} は'''列充足階数'''を持つという)となることである。
* {{mvar|f}} が[[全射]]となるための必要十分条件は、{{math|1=rank(''A'') = ''m''}} となる({{mvar|A}} が'''行充足階数'''を持つ)ことである。
* {{mvar|A}} が[[正方行列]](つまり {{math|1=''m'' = ''n''}})のとき、{{mvar|A}} が[[正則行列|正則]]であるための必要十分条件は、{{mvar|1=rank(''A'') = ''n''}}({{mvar|A}} が充足階数)となることである。
* {{mvar|B}} を任意の {{math|''n'' × ''k''}} 行列として {{math|rank(''AB'') ≤ min(rank(''A''), rank(''B''))}} が成り立つ。
** {{mvar|B}} が行充足階数 {{math|''n'' × ''k''}} 行列ならば {{math|1=rank(''AB'') = rank(''A'')}} が成り立つ。
** {{mvar|C}} が列充足階数 {{math|''l'' × ''m''}} 行列ならば {{math|1=rank(''CA'') = rank(''A'')}} が成り立つ。
* {{math|1=rank(''A'') = ''r''}} となるための必要十分条件は、{{math|''m'' × ''m''}} 正則行列 {{mvar|X}} と {{math|''n'' × ''n''}} 正則行列 {{mvar|Y}} が存在して <math display="block">XAY =\begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}</math> が成立することである。ただし {{mvar|I{{sub|r}}}} は {{math|''r'' × ''r''}} [[単位行列]]である。
▲''A''を''m''×''n''行列とする。また、''f''を表現行列''A''の線型写像とする
* {{math|1=rank(''A'') = rank(''A''
; シルベスターの階数不等式: {{math|''m'' × ''n''}} 行列 {{mvar|A}} と {{math|''n'' × ''k''}} 行列 {{mvar|B}} に対し <math display="block">
▲* rank''A''=rank''A''<sup>T</sup>(''A''<sup>T</sup>は[[転置行列]])
\operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B) - n \leq \operatorname{rank}(A B)
▲* ''A''が[[零行列]]のときかつその時に限りrank ''A''=0
</math> が成り立つ。{{efn|証明: 階数–退化次数定理を不等式 <math display="block">\dim\ker(AB) \le \dim\ker(A) + \dim\ker(B)</math> に適用すればよい}}
; フロベニウスの不等式: 行列の積 {{mvar|A, ABC, BC}} がいずれも定義されるとき、<math display="block">
\operatorname{rank}(AB) + \operatorname{rank}(BC) \le \operatorname{rank}(B) + \operatorname{rank}(ABC)
</math> が成り立つ。{{efn|証明: 写像 <math display="block">C\colon \ker(ABC) / \ker(BC) \to \ker(AB) / \ker(B)</math> は矛盾なく定義されて、単射である。したがって退化次数に対する不等式が得られるが、それを階数–退化次数定理で階数に関するものへ読み替えればよい。あるいは別法として、任意の部分線型空間 {{mvar|M}} に対し {{math|dim(''AM'') ≤ dim(''M'')}} が成り立つから、これを {{mvar|BC}} の像の {{mvar|B}} の像における(直交)補空間の定める部分空間(次元は {{math|rank(''B'') − rank(''BC'')}})を {{mvar|M}} として適用する。その {{mvar|A}} による像は次元 {{math|rank(''AB'') – rank(''ABC'')}} である。}}
; 劣加法性: {{mvar|A, B}} は同じ型の行列として <math display="block">\operatorname{rank}(A+ B) \le \operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(B)</math> が成り立つ。この帰結として、{{nowrap|階数 {{mvar|k}}}} の行列は{{nowrap|階数 {{math|1}}}} の行列 {{mvar|k}} 個の和に書くことができ、また {{mvar|k}} 個より少ない{{nowrap|階数 {{math|1}}}}-行列の和には書けない。
=== 特定の体上 ===
* {{mvar|A}} が[[実数]]体上の行列であるとき、{{mvar|A}} の階数は対応する[[グラム行列]]の階数に等しい。すなわち、実行列 {{mvar|A}} に対し <math display="block">\operatorname{rank}(A^{\top}A) = \operatorname{rank}(AA^{\top}) = \operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(A^{\top})</math> が成り立つ。これは各々の[[核空間]]が等しいことを見れば示される。グラム行列の核は {{math|1=''A''{{sup|⊤}}''Ax'' = 0}} となるベクトル {{mvar|x}} からなる。このときさらに {{math|1=0 = ''x''{{sup|⊤}}''A''{{sup|⊤}}''x'' = {{abs|''Ax''}}{{exp|2}}}} も成り立つ<ref>{{cite book| last = Mirsky| first = Leonid| title = An introduction to linear algebra| year = 1955| publisher = Dover Publications| isbn = 978-0-486-66434-7 }}</ref>。
* {{mvar|A}} が[[複素数]]体上の行列であるとき、{{mvar|A}} の複素共軛行列を {{mvar|{{overline|A}}}}, [[随伴行列|共軛転置行列]]を {{mvar|A*}} と書けば、<math display="block">
\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(\overline{A}) = \operatorname{rank}(A^\mathrm{T}) = \operatorname{rank}(A^*) = \operatorname{rank}(A^*A) = \operatorname{rank}(AA^*)
</math> が成り立つ。
▲* [[#次元定理]]が成立
== 階数の計算 ==
63 ⟶ 68行目:
\end{pmatrix}
</math>
と書けるから、
[[浮動小数点]]を用いたコンピューター上の[[数値計算]]においては、この基本変形を用いたり[[LU分解]]を用いることで階数を求める方法は、精度が落ちることもあり用いられない。替わりに、[[特異値分解]](SVD)や[[QR分解]]を用いて求められる。
== 線型写像の階数 ==
ベクトル空間
:<math>\ker f := \{ v \in V \mid f(v)=0\} </math>
の次元 {{math|dim ker ''f''}} を
:<math> \dim V = \
が成立し、'''階数と退化次数の関係式'''あるいは簡単に'''[[階数・退化次数の定理|階数・退化次数公式]]'''
==
=== 注釈 ===
{{notelist|30em}}
=== 出典 ===
{{reflist|30em}}
{{Linear algebra}}
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