「ガンマ関数」の版間の差分

:<math>\begin{align}

\Gamma(z+1)&=\int_{t=0}^{\infty}{t^z(-e^{-t})'}\,dt \\

&=z\Gamma(z)

\end{align}</math>

\end{align}</math>

である。従って、[[自然数]] {{mvar|n}} について

\Gamma (n+1)=n!

が成り立ち、その意味でガンマ関数は[[階乗]]の定義域を[[複素平面]]に拡張したものとなっているが、そもそもガンマ関数は「階乗の複素数への拡張となるもの」の実例としてオイラーが考案したのである。実際には、そのような関数は無数に存在するが、正の実軸上で[[凸関数|対数凸]]である解析関数という条件を付ければ、それは一意に定まりガンマ関数に他ならない（→'''[[ボーア・モレルップの定理]]'''）。右半平面においてオイラー積分で定義されたガンマ関数は全平面に[[有理型関数|有理型]]に[[解析接続]]する。ガンマ関数は[[零点]]を持たず、原点と負の整数に一位の極を持つ。その[[留数]]は、

{{Indent|<math>\operatorname{Res}(\Gamma , -n) = \frac{(-1)^n}{n!} </math>}}