「順序数」の版間の差分

# (''A'', <) が有限整列集合のとき、ord(''A'', <) は ''A'' の要素の個数に等しい。
# 整列集合 (''A'', &lt;) の順序数を &alpha; とし、&isin;<sub>&alpha;</sub> を &alpha; 上の所属関係とすると、(&alpha;, &isin;<sub>&alpha;</sub>) は (''A'', &lt;) と同型な整列集合である。
# &alpha; が順序数であることと、&alpha; が &isin; によって整列された[[推移的]]な集合]]であることは同値である。
# &alpha; が順序数のとき、&alpha; の要素もすべて順序数である。
 
まず、0 が最小の順序数である。その後に ''S''(0) = 1, ''S''(''S''(0)) = 2, ''S''(''S''(''S''(0))) = 3, ... と有限順序数(自然数)が通常の順序で並んでいる。そして、すべての自然数が並び終えると、次に来るのが最小の超限順序数 &omega; である。&omega; の後にはまたその後続者たちが ''S''(&omega;), ''S''(''S''(&omega;)), ''S''(''S''(''S''(&omega;))), ... と無限に続いていく。その後、それらの最小上界(後に &omega; + &omega; と呼ばれる)が並び、その後続者たちが無限に続く。だがそれで終わりではない。無限に続いた後には、必ずそれまでに並んだすべての順序数たちの最小上界が存在し、その後続者、そのまた後続者、... のように順序数の列は"永遠に"続いていくのである。
 
== 順序数の特徴付け ==
集合 x について以下は[[公理的集合論#ZF 公理系|ZF]]で同値である。
* x は順序数である。
* x は[[推移的集合]]であり帰属関係 &isin; に関する[[整列集合]]である。 ([[ジョン・フォン・ノイマン]]の定義)<ref name="von Neumann1923pp199-208">{{Harvnb|von Neumann|1923}}</ref><ref>{{harv|Levy|1979|page=52}} 著者はこの案をツェルメロの1916年の未公刊の仕事とノイマンの1920年代の数編の論文に帰している。</ref>
* x は推移的集合であり y,z&isin;x ならば y&isin;z, y=z, y&ni;z のいずれか1つだけが成り立つ。
* x は推移的集合であり包含関係 &sub; に関する[[全順序集合]]である。
* x は推移的集合であり x の要素もまた推移的集合である。
ただし[[正則性公理]]を仮定しない場合は必ずしも同値にならないので注意が必要である。
 
== ブラリ=フォルティの定理 ==
433

回編集