「超実数」の版間の差分

の形に書ける如何なる数よりも大きい元を含む。そのような数は無限大であり、その逆数は無限小である。{{en|"hyper-real"}} の語は{{仮リンク|エドウィン・ヒューイット|en|Edwin Hewitt}}が1948年に導入した<ref>{{citation|first=Edwin |last=Hewitt |date=1948|page=74}}</ref><ref>Keisler (1994).</ref>。

 

 

無限小を含むような論法の[[健全性]]に対する関心は、[[アルキメデス]]がそのような証明を[[取り尽くし法]]など他の手法によって置き換えた、[[古代ギリシャ]]時代の[[数学]]にまで遡る。1960年代に[[アブラハム・ロビンソン|ロビンソン]]は、超実数体が論理的に無矛盾であることと実数体が論理的に無矛盾であることが同値であることを示した。これは、ロビンソンが描いた論理的な規則に従って操作されなかったならば、あらゆる無限小を含む証明が不健全になる恐れが残ることを示している。

定冠詞 {{en|the}} を付けて "{{en|the hyperreal numbers}}" と呼ぶことは、言及される大抵の文脈において一意な順序体が存在しないという点で、幾ばくか誤解を招くことになる。しかし、論文 {{harvtxt|Kanovei|Shelah|2003}}<ref name="kanovei2003">{{Citation | last1=Kanovei|first1=Vladimir | last2=Shelah | first2=Saharon | authorlink2=サハロン・シェラハ | title=A definable nonstandard model of the reals| url=http://shelah.logic.at/files/825.pdf| journal=Journal of Symbolic Logic|volume=69|year=2004| pages=159–164 | doi=10.2178/jsl/1080938834}}</ref>は実数体の{{仮リンク|定義可能集合|label=定義可能|en|Definable set}}で{{仮リンク|飽和モデル|label=可算飽和|en|Saturated model}}（{{math|ω}}-飽和）な{{仮リンク|初等拡大|en|elementary extension}}が存在することを示した。これは {{en|''the'' hyperreal numbers}} と呼ぶにふさわしいものであった。よりはっきり言えば、実数列の空間から超冪構成により得られるこの体は（[[連続体仮説]]を仮定すれば）[[同型を除いて]]一意に定まる。

 

 

== 発展 ==

これは、[[:en:Weak ordering|total preoder]] であり、2 つの数列 {{math|''a'', ''b''}} に対し、{{math|''a'' ≤ ''b''}} かつ {{math|''b'' ≤ ''a''}} であるとき、{{mvar|a}} と {{mvar|b}} を区別しないことを認めれば、これは[[全順序]]になる。この同一視により、超実数順序体 {{math|*'''R'''}} が構成される。代数的観点からみると、{{mvar|U}} によって対応する[[可換環]] {{math|'''A'''}} の[[極大イデアル]] {{math|'''I'''}}（すなわち、{{mvar|U}} の元の幾つかが消えた数列の集合）を定義し、{{math|'''A'''/'''I'''}} を {{math|*'''R'''}} と定義できる。極大イデアルによる可換環の商として、{{math|*'''R'''}} は体である。それを自由超フィルター {{mvar|U}} を使って {{math|'''A'''/''U''}} と書くこともあり、それらは等しい。その {{math|'''I'''}} の極大性から、与えられた数列 {{mvar|a}} からその非ゼロ元の逆数をとって、ゼロ元はそのままにしてできた数列 {{mvar|b}} を作ることができる可能性が従う。それらの積 {{mvar|ab}} は、この場合は数 {{math|1}} と同定され、{{math|1}} を含む如何なるイデアルは {{mvar|A}} でなければならない。その結果の体において、{{mvar|a}} と {{mvar|b}} は互いに逆元である。

 

{{mvar|A}} は

:<math>(2^{\aleph_0})^{\aleph_0} = 2^{\aleph_0^2} =2^{\aleph_0},\,</math>

ZFC と連続体仮説の否定を仮定したうえで、それぞれ可算に添字付けられた実数の超冪で、順序非同型な体のペアが存在することを証明できる。

 

 

=== 超冪による構成の直感的アプローチ ===

{{mvar|X}} が{{仮リンク|チコノフ空間|en|Tychonoff space}}（{{math|T_3&frac12;}}-空間）で {{math|C(''X'')}} を {{mvar|X}} 上の実数値連続函数全体の成す多元環とする。{{math|M}} が {{math|C(''X'')}} の[[極大イデアル]]ならば、[[商環]] {{math|F {{=}} C(''X'')/M}} は実数体 {{math|'''R'''}} を含む全順序体である。{{math|F}} が真に {{math|'''R'''}} を含むとき、（{{harvtxt|Hewwitt|1948}} に従い）{{math|M}} を'''超実イデアル''' (''hyperreal ideal'')、{{math|F}} を'''超実体''' (''hyperreal field'') と呼ぶ。ここでは {{math|F}} の濃度が {{math|'''R'''}} の濃度より真に大きいことは仮定していないことに注意せよ（実際に同じ濃度を取り得る）。

 

 

== 関連項目 ==