「ラマヌジャン・スコーレムの定理」の版間の差分
削除された内容 追加された内容
編集の要約なし |
一般化 |
||
3行目:
の自然数解が存在するのは ''n'' = 3, 4, 5, 7, 15 のときだけであるというもの。(n,x)=(3,1),(4,3),(5,5),(7,11),(15,181) である。
[[シュリニヴァーサ・ラマヌジャン]]が予想し、ナーゲル(Trygve Nagell)が[[1948年]]に（元の証明は[[ノルウェー語]]で発表されたが、1961年に英語版の論文が発表された）、[[トアルフ・スコーレム]]が[[1959年]]に証明した。
== 一般化 ==
一般に 与えられた正の整数 ''D'' に対して
: <math>x^2+D=2^n</math>
は有限個の解しかもたない。[[ロジェ・アペリー]] は 7 以外の正の整数 ''D'' に対して、この方程式は多くても2つの正の整数解しかもたないことを示したが<ref>Apery (1960)</ref>、Beukersは2つの正の整数解をもつのは
<math>D=7, 23 ((x, n)=(3, 5), (45, 11)), 2^k-1 (k\geq 4, (x, n)=(1, k, 2^{k-1}-1, 2k-2))</math> の場合に限ることを示し、さらに ''n'' < 435 + 10 log |D| / log 2 （これは ''D'' が負の場合にも成り立つ）となることを示した<ref>Beukers (1981)</ref>。
== Lebesgue-Nagell 方程式 ==
一般に、任意の整数 ''A'', ''D'' に対して、不定方程式
: <math>x^2+D=Ay^n</math>
の整数解 ''x'', ''y'', ''n'' の個数は有限個で、原理的に計算可能である<ref>Shorey, van der Poorten, Tijdeman, Schinzel (1976), Shorey, Tijdeman (1986) など</ref>。M. Lebesgue （[[アンリ・ルベーグ]]とは別人）は1850年に
: <math>x^2+1=y^n</math>
の整数解は ''x'' =0, ''y''=1 しかないことを示した。これにちなんで上記の形の方程式を Lebesgue-Nagell 方程式とよぶ。[[フェルマーの最終定理]]の証明にも用いられたモジュラー性の理論を用いて Bugeaud, Mignotte, Siksek はこの不定方程式を ''A''=1, 1≤ D≤ 100 に対して解いた<ref>Bugeaud, Mignotte, Siksek (2006)</ref>。特に元のラマヌジャン・ナーゲルの方程式の直接の拡張である方程式
: <math>x^2+7=y^n, n>1</math>
の自然数解は ''x'' = 1, 3, 5, 11, 181 のみである。
== 参考文献 ==
{{reflist}}
* {{cite journal | author = F. Beukers | title = On the generalized Ramanujan-Nagel equation I | journal = Acta Arith. | volume = 38 | year = 1981 | pages = 389–410 | url= http://pldml.icm.edu.pl/pldml/element/bwmeta1.element.bwnjournal-article-aav38i4p389bwm }}
* {{cite journal | author = M. Lebesgue | title = Sur l’impossibilité, en nombres entiers, de l’équation ''x''<sup>''m''</sup> = ''y''<sup>''2''</sup> + 1 | journal = Nouv. Ann. Math. Sér. 1 | volume = 9 | year = 1850 | pages = 178–181 | url= http://www.numdam.org/item/NAM_1850_1_9__178_0 }}
* {{cite journal | author= T. Nagell | title= Løsning till oppgave nr 2 | journal= Norsk Mat. Tidsskr. | volume = 30 | year = 1948 | pages = 62–64 }}
* {{cite journal | author= T. Nagell | title= The Diophantine equation ''x''<sup>2</sup> + 7 = 2<sup>''n''</sup> | journal= Ark. Mat. | volume= 4 | year = 1961 | pages = 185–187 | doi = 10.1007/BF02592006 }}
* {{cite conference | author1 = T. N. Shorey | author2 = A. J. van der Poorten | author3 = R. Tijdeman | author4 = A. Schinzel | title = Applications of the Gelʹfond-Baker method to Diophantine equations | booktitle = Transcendence theory: advances and applications (Proc. Conf., Univ. Cambridge, Cambridge, 1976) | publisher = Academic Press | year = 1976 | pages = 59–77 }}
* {{cite book | author1 = T. N. Shorey | author2 = R. Tijdeman | title = Exponential Diophantine equations | series = Cambridge Tracts in Mathematics | volume = 87 | publisher = Cambridge University Press | year = 1986 | isbn = 9780511566042 | doi = 10.1017/CBO9780511566042 }}
* {{cite journal | author1 = Yann Bugeaud | author2 = Maurice Mignotte | author3 = Samir Siksek | title = Classical and modular approaches to exponential Diophantine equations II. The Lebesgue–Nagell equation | journal = Compos. Math. | volume = 142 | year = 2006 | pages = 31–62 | url= https://www.cambridge.org/core/journals/compositio-mathematica/article/classical-and-modular-approaches-to-exponential-diophantine-equations-ii-the-lebesguenagell-equation/561DC1F5B3E197BB7FEDEF2297E49092 | doi = 10.1112/S0010437X05001739 }}
{{DEFAULTSORT:らまぬしやんすこおれむのていり}}
| |||