「コーシーの積分定理」の版間の差分
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この定理の証明は導関数が連続という仮定下では[[グリーンの定理]]と[[コーシー・リーマンの関係式]]を用いるとよい。
証明は複素積分の定義から導くことができる。
:<math>\begin{align}
\oint_C f(z)dz
&= \oint_C &= \oint_C (udx-vdy) + i \oint_C (udy+vdx) \\▼
&= -\iint_D \biggl (\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y} \biggr ) dxdy▼
▲= \oint_C (udx-vdy) + i \oint_C (udy+vdx)
\end{align}
▲= -\iint_D \biggl (\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y} \biggr )dxdy
▲ + i \iint_D \biggl (\frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial v}{\partial y} \biggr ) dxdy
</math>
ここで、正則関数であればコーシー・リーマンの関係式が成立するので、実部と虚部の項が0になる。
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