「一般化された超幾何関数」の版間の差分
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数学において、'''超幾何級数'''（ちょうきかきゅうすう、{{lang-en-short|hypergeometric series}}）は、一般に
:<math>_rF_s \left[ \begin{matrix}a_1, a_2, \dotsc, a_r \\ b_1, b_2, \dotsc, b_s \end{matrix}; z \right] := \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a_1)_n (a_2)_n \dotsb (a_r)_n}{(b_1)_n (b_2)_n \dotsb (b_s)_n \; n!} z^n</math>
の形式で表される[[級数]]である<ref>{{MathWorld|title=Hypergeometric Series|urlname=HypergeometricSeries}}</ref>。但し、
:<math>\begin{align}
(x)_0 &:= 1, \\
(x)_n &:= \prod_{k=0}^{n-1} (x+k) \\
\end{align}</math>
は[[ポッホハマー記号]]である。古典的には[[カール・フリードリヒ・ガウス|ガウス]]の超幾何関数
{{Indent|<math>F(a,b,c;z):={_2F_1}\left[\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};z\right]=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)_n(b)_n}{(c)_n\;n!}z^n</math>}}
を単に超幾何級数という。なお、厳密にいうと、右辺の級数が超幾何級数であり、左辺の記号は級数の和によって定義される超幾何関数を表すものである。
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超幾何級数<math>_rF_s[a_1,\dots,a_r;b_1,\dots,b_s;z]</math>は、<math>r<s+1</math>であれば[[絶対収束]]し、<math>r>s+1</math>であれば発散する。<math>r=s+1</math>の場合は、<math>|z|<1</math>であれば絶対収束し、<math>|z|>1</math>であれば発散する。<math>|z|=1</math>の場合は、<math>\sum\real{a_j}<\sum\real{b_j}</math>であれば絶対収束し、<math>\sum\real{a_j}>\sum\real{b_j}</math>であれば発散する。但し、<math>a_j</math>又は<math>b_j</math>が正でない整数<math>k\in\mathbb{Z}\setminus\mathbb{N}</math>である場合は、<math>(a_j)_{n{\ge}k}=0</math>となって<math>{z}<\infty</math>で収束、或いは<math>(b_j)_{n{\ge}k}=0</math>となって<math>z\ne0</math>で発散する場合がある。
=== 収束条件の証明 ===
第<math>n</math>項を<math>c_n</math>と
:<math>\begin{align}
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