Wikipedia

「4元電流密度」の版間の差分

履歴の双方向閲覧
← 古い編集新しい編集 →
削除された内容 追加された内容
ビジュアルウィキテキスト
m 電工石火 がページ「電荷・電流密度」をリダイレクトの「4元電流密度」に移動しました
編集の要約なし
1行目:
{{電磁気学}}
'''電荷・4元電流密度'''（でよんげんか・でんりゅうみつど, 、{{Lang-en|four-current}}）、或いは'''4元電流密度'''とは、[[電荷密度]]と[[電流密度]]を[[特殊相対性理論|相対論的]]な[[時空]]的における[[4元ベクトル]]として記述したものである。
 
4元電流密度は[[ローレンツ変換]]の下で[[ベクトル]]として変換する4元ベクトルであり、時間成分は電荷密度 {{mvar|ρ}}、空間成分が電流密度 {{mvar|'''j'''}} であり
電荷・電流密度は[[4元ベクトル]]であり[[ローレンツ変換]]に従う。
電荷密度 <math>\rho(t,\boldsymbol{x})</math>、電流密度 <math>\boldsymbol{j}(t,\boldsymbol{x})</math> によって
{{Indent|
<math>j^\mu = (c \rho c, \boldsymbol{j})</math>
}}
と書かれる。ここで c は[[光速度]]であ {{mvar|c}} により、電荷密度の[[量の次元|次元]]をが電流密度の次元に換算する定数であされる。
 
== 基礎方程式 ==
電荷・電流密度は[[連続の方程式]]
電荷の保存則を表す[[連続の方程式]]は、4元ベクトルの[[発散 (ベクトル解析)|発散]]
{{Indent|
<math>\partial_\mu j^\mu = 0</math>
}}
の形で書かれる。
を満たす。
 
電荷・4元電流密度は[[電磁場]]の源（[[ソース]]）であり[[マクスウェルの方程式]]
{{Indent|
<math>\partial_\nu F^{\nu\mu} = \mu_0 j^\mu</math>
<math> =\partial_\nu\partial^\nu A^\mu -\partial^\mu\partial_\nu A^\nu =\mu_0 j^\mu</math>▼
}}
を満たす。ここで {{mvar|F}} は[[電磁場テンソル]]、{{mvar|A}} は[[電磁ポテンシャル]]である。また {{math|''&mu;''{{sub|0}}}} は[[磁気定数]]である。▼
{{Indent|▼
▲<math>\partial_\nu\partial^\nu A^\mu -\partial^\mu\partial_\nu A^\nu =\mu_0 j^\mu</math>
}}▼
▲を満たす。ここで F は[[電磁場テンソル]]、A は[[電磁ポテンシャル]]である。
また、&mu;<sub>0</sub>は[[透磁率]]である。
 
また、電荷・4元電流密度は、電磁場から[[ローレンツ力]]
{{Indent|
<math>f_\mu = j^\nu F_{\nu\mu}</math>
31 ⟶ 28行目:
を受ける。
 
== ラグランジュ形式 ==
物質 &psi;{{mvar|X}} と電磁場 {{mvar|A}} が相互作用する系の[[作用積分]]は
{{Indent|
<math>S_\psiS_X[\psiX] +S_A[A] +S_\mathrmtext{int}[\psiX,A]</math>
}}
と書かれる。この系の電荷・電流密度相互作用項 {{math|''S''{{sub|int}}}} は一般に
{{Indent|
<math>j^\mu(x) = -\frac{\delta S_\mathrmtext{int}[\psiX,A] =-\frac{1}{c}\deltaint j^\mu A_\mu(x) \sqrt{-g}\, d^4x</math>
▲}}
の形で書かれるため、4元電流密度は汎関数微分により
▲{{Indent|
<math>j^\mu(x) = -\frac{c}{\sqrt{-g}} \frac{\delta S_\text{int}[X,A]}{\delta A_\mu(x)}</math>
}}
と表される。
{{Main|電磁ポテンシャル#ラグランジュ形式}}
 
微視的に見ると4元電流密度は荷電粒子の集合であり、4元電流密度は粒子を記述する力学変数 {{mvar|X}} の関数として書かれる。粒子の系がどのように記述されるかによって、相互作用項の具体形は変化し、それに伴って4元電流密度の具体形も変化する。
=== 相対論的粒子系 ===▼
 
微視的に見ると電荷・電流密度は荷電粒子の集合である。
▲=== 相対論的古典粒子系 ===
相対論的な粒子系を考えると、電荷 q<sub>i</sub> の粒子が位置 <math>z_i</math> にあるとき、
古典的な粒子系を考えるとき、粒子はその位置によって記述される。4元電流密度は相対論的に取り扱われる量であり、粒子も相対論的な系を考える。
位置 {{mvar|X{{sub|i}}}} にある粒子が電荷 {{mvar|q{{sub|i}}}} を帯びているとき、作用汎関数は
{{Indent|
<math>\begin{aligned}
S_\text{int}[X,A]
&=\int \sum_i q_i \int d\lambda\, \left( \frac{dX_i^\mu}{d\lambda} \delta(X_i(\lambda)-x) \right) A_\mu(x) \sqrt{-g}\, d^4x \\
&=\sum_i q_i \int d\lambda\, \left( \frac{dX_i^\mu}{d\lambda} A_\mu(X_i) \sqrt{-g(X_i)} \right) \\
\end{aligned}</math>
}}
で書かれる。したがって、この系の4元電流密度は
{{Indent|
<math>j^\mu(x) = \sum_i q_i \int d\tau_ilambda\, \left(
q_i \frac{dz_idX_i^\mu}{d\tau_ilambda} \delta^4(xX_i(\lambda)-z_ix) \right)</math>
}}
である。
{{See also|ラグランジュ力学}}
 
=== ディラック場フェルミ粒子 ===
量子論的なフェルミ粒子の系がは、[[ディラック場]] {{mvar|&psi;}} で与えら記述されるとき。質量が {{mvar|m}} の自由なフェルミ粒子の運動項は
{{Indent|
<math>S_\psi[\psi] =\int \left[ i\bar\psi \gamma^\mu\partial_\mu\psi(x) -m \bar\psi \psi(x)
\right]\, d^4x</math>
}}
で与えられる。ここで {{mvar|&gamma;}} は[[ガンマ行列]]である。
 
フェルミ粒子と電磁場との相互作用は、[[ゲージ理論]]に基づいて、微分を[[ヤン＝ミルズ理論#共変微分|共変微分]]へ置き換える最小結合の理論で記述される。
従って、フェルミ粒子の運動項と相互作用項は
{{Indent|
<math>S_\psi[\psi] +S_\text{int}[\psi,A]
=\int \left[ i\bar\psi \gamma^\mu(\partial_\mu-ie A_\mu Q)\psi(x) -m \bar\psi \psi(x) \right]\, d^4x</math>
}}
の形となる。ここで {{mvar|e}} は[[電磁相互作用]]の[[結合定数 (物理学)|結合定数]]（である[[素電荷気素量]]）である。また、{{mvar|Q}} はディラック場 {{mvar|&psi;}} の {{math|U(1){{sub|em}}}} の下での変換性を表す[[チャージ (物理学)|チャージ]]である。&gamma; は[[ガンマ行列]]である。▼
 
従って相互作用項は
{{Indent|
<math>S_\text{int}[\psi,A] =e \int \bar\psi Q\gamma^\mu\psi(x) A_\mu(x)\, d^4x</math>
}}
であり、4元電流密度は
{{Indent|
<math>j^\mu(x) = eQ_i e\bar\psi_i(x)psi Q\gamma^\mu\psi_ipsi(x)</math>
}}
となる。
▲となる。ここで e は[[電磁相互作用]]の[[結合定数 (物理学)|結合定数]]（[[素電荷]]）、Q は場 &psi; の U(1) [[チャージ (物理学)|チャージ]]である。&gamma; は[[ガンマ行列]]である。
{{See also|量子電磁力学}}
 
「https://ja.wikipedia.org/wiki/4元電流密度」から取得