「極限」の版間の差分
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{{出典の明記|date=2015年10月}}
[[数学]]においては、[[数列]]など、ある種の数学的対象をひとまとまりに並べて考えたものについての'''極限'''（きょくげん、{{lang-en-short|''limit''}}）がしばしば考察される。直感的には、数の列がある値に限りなく近づくとき、その値のことを数列の'''極限'''あるいは'''極限値'''といい、この数列は'''収束する'''という。収束しない場合は、'''発散する'''という。
極限を表す記号として、
*<math>\lim_{n \to \infty}x_n</math>
*<math>\lim_{x \to 0}\frac{\;\sin x\;}{x}=1</math>
18行目:
{{Indent|<math>\lim_{n \to \infty}{1 \over n} = 0</math>}}
あるいは
{{Indent|<math>{1 \over n} \to 0 \quad (n\to\infty)</math> ないしは <math>{1 \over n} \to 0 \quad \text{as } n\to\infty</math>}}
と書く。
[[カール・ワイエルシュトラス]]は「限りなく近づく」というあいまいな表現は使わず、[[イプシロン-デルタ論法]]を用いて厳密に収束を定義した。これによれば、数列 {''a''<sub>''n''</sub>} がある一定の値 α に収束するとは、次のようなことを言う（この場合は[[イプシロン-エヌ論法]]とも言う）
{{Indent|<math>\forall\ \varepsilon > 0, \ \exists\ n_0 \in\mathbb{N} \ \textrm{s.t.} \ \forall n\in\mathbb{N} \left[n>n_0\
（どんなに小さな正の数 ε をとっても、その ε に対して適切な番号 ''n''<sub>0</sub> を十分大きく定めれば、''n''<sub>0</sub> より先の番号 ''n'' に対する ''a''<sub>''n''</sub> は α から ε ほども離れない範囲に全部入るようにすることができる）}}
これを用いると、''a''<sub>''n''</sub> = 1/''n'' の極限値が 0 であることを以下のようにして示すことができる。
<div style="margin:1ex 0 1em 2em;">
(証明)<div style="text-indent:1em">自然数は上に[[有界]]でない（[[アルキメデスの性質]]）ので、<div style="text-indent:1em"><math>\forall \
</div>
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