「選択公理」の版間の差分

AC₂ <math>\Rightarrow</math> AC₄を示すには、4元集合からなる集合族 <math>F</math> に選択関数が存在することを示せば良い。まず <math> \{\{a,b\}:a,b \in \bigcup F , a\neq b\}</math> に AC₂ を適用して、選択関数 <math>g</math> を得る。次に <math>g</math> を使って <math>F</math> の各元 <math>\rm A</math> から元をひとつ取り出だすことを考える。集合 <math>{\rm B}</math> を <math> \{\{a,b\}:a,b \in {\rm A} , a\neq b \}</math> とおくと、<math>{\rm B}</math> は <math>_4C_2=</math>6元集合となる。<math>\rm A</math> の元 <math>a</math> に対し、<math>q(a) = |\{b \in B : g(b) = a \}|</math> という関数を定め、<math>q(a)</math> の最小値を <math>m</math> とおく。集合 <math>{\rm M}</math> を <math>\{a \in {\rm A} : q(a) = m\}</math> とおくと、<math>{\rm BA}</math> は64元集合なので <math>{\rm M}</math> の濃度は <math> 1, 2, 3, 4 </math> のいずれかであるが、、<math>|\rm M|=4</math>と仮定すると、<math>4q(a)=\sum_{a\in \rm A}q(a)=|\rm B|=6</math>となり矛盾する。<math>|\rm M| = 1</math> である場合は、<math>{\rm M}</math> の元を選択関数 <math>f({\rm A})</math> の値とすればよい。<math>|M| = 2</math> の場合は、<math>f({\rm A}) = g({\rm M})</math> とする。最後に <math>|M| = 3</math> である場合は、<math>{\rm A} \setminus {\rm M}</math> の元を <math>f({\rm A})</math> の値とすればよい。