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「フラクタル次元」の版間の差分

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18行目:
期待された通り非整数となるフラクタル構造の次元（これは事実上[[ハウスドルフ次元]]である）を得ることができる。
 
:<math>D = \lim_{\varepsilonepsilon \rightarrow 0} \frac{\log N(\varepsilonepsilon)}{\log\frac{1}{\varepsilonepsilon}}</math>
 
ここで {{math|''N''(''ε'')}} はもとの構造全体を埋めるのに必要とされる線形サイズεの自己相似構造の数である。
24行目:
例えば、[[シェルピンスキーのギャスケット|シェルピンスキーの三角形]]（図2）は &#189; に縮めると3つの自己相似構造が必要になるので、そのフラクタル次元はこのように求められる：
 
:<math> D = \lim_{\varepsilonepsilon \rightarrow 0} \frac{\log N(\varepsilonepsilon)}{\log\left(\frac{1}{\varepsilonepsilon}\right)}
= \lim_{k \rightarrow \infty} \frac{\log 3^k}{\log 2^k} = \frac{\log 3}{\log 2} \approx 1.585 </math>
 
32行目:
同様に、コッホ雪片のフラクタル次元は
 
:<math> D = \lim_{\varepsilonepsilon \rightarrow 0} \frac{\log N(\varepsilonepsilon)}{\log\left(\frac{1}{\varepsilonepsilon}\right)}
= \lim_{k \rightarrow \infty} \frac{\log 4^k}{\log 3^k} = \frac{\log 4}{\log 3} \approx 1.262 </math>
 
39行目:
これと密接に関連するのが{{仮リンク|ボックス次元|en|box-counting dimension}}であり、これは空間がサイズεの箱によるグリッドに分割されるとき、いくつのこのサイズの箱が[[アトラクター]]の一部を含むかを考えるものである。これもまた：
 
:<math>D_0 = \lim_{\varepsilonepsilon \rightarrow 0} \frac{\log N(\varepsilonepsilon)}{\log\frac{1}{\varepsilonepsilon}}</math>
 
その他の次元量としては'''情報次元'''があり、これは箱のサイズが小さくなってゆくときに、ある占められた箱を特定するために必要とされる平均[[情報量]]がどれだけ変化するかを考えるものである：
 
:<math>D_1 = \lim_{\varepsilonepsilon \rightarrow 0} \frac{-\langle \log p_\varepsilonepsilon \rangle}{\log\frac{1}{\varepsilonepsilon}}</math>
 
また、{{仮リンク|相関次元|en|correlation dimension}}は恐らく最も計算が簡単なものであり、
 
:<math>D_2 = \lim_{\varepsilonepsilon \rightarrow 0, M \rightarrow \infty} \frac{\log (g_\varepsilonepsilon / M^2)}{\log \varepsilonepsilon}</math>
 
ここで''M''はフラクタルもしくはアトラクターを表すのに用いられる点の数、''g''<sub>ε</sub>は互いに距離εよりも近い点のペアの数である。
54行目:
ボックス次元、情報次元、相関次元の3者は、次式で定義されるオーダー&alpha;の一般化された次元すなわち[[レニー次元]]（Rényi dimension）の連続したスペクトルの特別な場合と見なせる：
 
:<math>D_\alpha = \lim_{\varepsilonepsilon \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{1-\alpha}\log(\sum_{i} p_i^\alpha)}{\log\frac{1}{\varepsilonepsilon}}</math>
 
ここで極限の分子はオーダー&alpha;の{{仮リンク|レニー・エントロピー|en|Rényi entropy}}である。&alpha;= 0 の時のレニー次元はアトラクターの支持体の全ての部分を均等に扱う。&alpha;の値が大きくなると、最も頻繁に見られるアトラクターの部分により重い計算上のウェイトが与えられる。
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