「フィボナッチ素数」の版間の差分

'''フィボナッチ素数'''（フィボナッチそすう、{{lang-en-short|Fibonacci prime}}）は[[フィボナッチ数]]である[[素数]]である。

フィボナッチ素数の最初のいくつかは以下のようになる（{{OEIS|id=A005478}}）。

フィボナッチ素数 ''F''_''n'' が無限にあるかどうかは分かっていない。''F''_''n'' が素数となる ''n'' の最初の33個は以下の通りである（{{OEIS|id=A001605}}）。

: 3, 4, 5, 7, 11, 13, 17, 23, 29, 43, 47, 83, 131, 137, 359, 431, 433, 449, 509, 569, 571, 2971, 4723, 5387, 9311, 9677, 14431, 25561, 30757, 35999, 37511, 50833, 81839.

以下の数に対する ''F''_''n'' も、素数である可能性が高いと考えられている<ref name="prptop">[http://www.primenumbers.net/prptop/searchform.php?form=F%28n%29&action=Search PRP Top Records, Search for : F(n)]. 2019年1月13日閲覧。</ref>。

: ''n'' = 104911, 130021, 148091, 201107, 397379, 433781, 590041, 593689, 604711, 931517, 1049897, 1285607, 1636007, 1803059, 1968721.<ref, name="prptop">[http://www.primenumbers.net/prptop/searchform.php?form=F%28n%29&action=Search2904353, PRP Top Records3244369, Search for : F(n)]. Retrieved 2009-11-213340367.</ref>

最初の10個のフィボナッチ素数のうち、''p'' が 2 と 19 のときを除いた8個で ''F''_''p'' は素数となる。2 と 19 のときは ''F''₂ = 1, ''F''₁₉ = 4181 = 37 × 113 となる。しかし、''p'' が大きくなるにつれてフィボナッチ素数の出現頻度は下がっていく。10000以下の 1229個の素数の中で、''F''_''p'' が素数になるのは26個しかない（<ref>{{OEIS2C|A005478}}, 、{{OEIS2C|A001605}}。</ref>）。

2009年11月現在、知られ確定している最大のフィボナッチ素数は17103桁の ''F''₈₁₈₃₉ である。これは 17103桁の数である。この数は、2001年に David Broadhurst と Bouk de Water によって素数であることが証明された<ref>[http://listserv.nodak.edu/cgi-bin/wa.exe?A2=ind0104&L=nmbrthry&P=R1807&D=0 Number Theory Archives announcement by David Broadhurst and Bouk de Water]</ref><ref>Chris Caldwell, [http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=39 The Top Twenty: Fibonacci Number] from the Prime Pages. Retrieved 2009-11-21.</ref>。

20092018年3月に Henri Lifchitz が発見した698096桁の ''F''_{19687213340367} は素数である可能性が高いとされている。この数字は 411439桁である<ref name="prptop"/>。

素数番目のフィボナッチ数とそれより小さい未満のフィボナッチ数は、1より大きい[[公約数]]を持たない（[[互いに素]]である）。これは、以下の式から明らかである。

''n'' が 3以上のとき、''n'' が ''m'' で割り切れるときのみ ''F''_''n'' が ''F''_''m'' で割り切れる<ref>Wells 1986, p.65</ref>。