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「パラコンパクト空間」の版間の差分

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==パラコンパクト性==
 
[[集合]] ''X'' の[[集合の被覆|''被覆'']]は ''X'' の[[部分集合]]の集まりであってその[[合併 (集合論)|和集合]]が ''X'' を含むようなものである。記号で書けば、'''U''' = {''U''<sub>α</sub> : α in ''A''} が ''X'' の部分集合の添え字づけられた族であれば、'''U''' が ''X'' の被覆であるとは、
:<math>X \subseteq \bigcup_{\alpha \in A}U_{\alpha}.</math>
 
のことである。
位相空間 ''X'' の被覆が[[開被覆|''開'']]であるとは、すべてのその元が[[開集合]]であるということである。空間 ''X'' の被覆の''細分''は同じ空間の新しい被覆であって新しい被覆のすべての集合が古い被覆のある集合の[[部分集合]]であるようなものである。記号で書けば、被覆 '''V''' = {''V''<sub>β</sub> : β in ''B''} が被覆 '''U''' = {''U''<sub>α</sub> : α in ''A''} の細分であることと '''V''' の[[普遍量化子|任意の ''V''<sub>β</sub> に対して]] '''U''' の[[存在量化子|ある ''U''<sub>α</sub> が存在して]] ''V''<sub>β</sub> が ''U''<sub>α</sub> に含まれることが同値である。▼
 
位相空間 ''X'' の被覆が[[開被覆|開]]であるとは、すべてのその元が[[開集合]]であるということである。
 
▲位相空間 ''X'' の被覆が[[開被覆|''開'']]であるとは、すべてのその元が[[開集合]]であるということである。空間 ''X'' の被覆の''細分と''は同じ空間の新しい被覆であって新しい被覆のすべての集合が古い被覆のある集合の[[部分集合]]であるようなものである。記号で書けば、被覆 '''V''' = {''V''<sub>β</sub> : β in ''B''} が被覆 '''U''' = {''U''<sub>α</sub> : α in ''A''} の細分であることと '''V''' の[[普遍量化子|任意の ''V''<sub>β</sub> に対して]] '''U''' の[[存在量化子|ある ''U''<sub>α</sub> が存在して]] ''V''<sub>β</sub> が ''U''<sub>α</sub> に含まれることが同値である。
 
空間 ''X'' の開被覆が'''局所有限''であるとは、空間の全ての点が被覆の[[有限集合|有限]]個の集合としか交わらない[[近傍 (位相空間論)|近傍]]を持つということである。記号で書けば、'''U''' = {''U''<sub>α</sub> : α in ''A''} が局所有限であることと、任意の ''x'' &isin; ''X'' に対して ''x'' のある近傍 ''V''(''x'') が存在して集合
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