「連続確率分布」の版間の差分

[[累積分布関数]]が「[[連続 (数学)|連続]]」であるという用語は、「[[ルベーグ測度]]に対して絶対連続」という意味で使われることもある。{{mvar|σ}}-有限である[[確率空間]]において、[[確率分布#確率変数の確率分布|確率分布]]が[[可測関数]]の[[ルベーグ積分]]で表されるための必要十分条件は、[[確率分布#累積分布関数|分布関数]] {{mvar|F{{sub|X}}}} が'''[[絶対連続]]'''であることである（[[ラドン＝ニコディムの定理]]）。このときのラドン＝ニコディム微分を[[確率密度関数]]という。確率分布 {{mvar|P{{sub|X}}}} が絶対連続であるとは、[[ルベーグ測度]]が {{math|0}} の <math>\mathbb{R}</math> の[[部分集合]] {{mvar|N}} をとる確率が {{math|0}} である。絶対連続 ⊆ 連続であり、絶対連続分布 ⊆ 広義連続分布 ⊆ 連続型確率変数の確率分布である。

ルベーグ測度が {{math|0}} の非可算な集合（たとえば[[カントール集合]]）も存在するため、累積分布関数が連続（つまり、任意の実数 {{mvar|a}} について {{math2|P(''X'' {{=}} ''a'') {{=}} 0}}）であっても絶対連続でない例が存在する。[[カントール分布]]は（本来の意味では）連続だが、絶対連続ではない。