「連続確率分布」の版間の差分

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== 絶対連続分布 ==
[[累積分布関数]]が「[[連続 (数学)|連続]]」であるという用語は、「[[ルベーグ測度]]に対して絶対連続」という意味で使われることもある。{{mvar|σ}}-有限である[[確率空間]]において、[[確率分布#確率変数の確率分布|確率分布]]が[[可測関数]]の[[ルベーグ積分]]で表されるための必要十分条件は、[[確率分布#累積分布関数|分布関数]] {{mvar|F{{sub|X}}}} が'''[[絶対連続]]'''であることである([[ラドン=ニコディムの定理]])。このときのラドン=ニコディム微分を[[確率密度関数]]という。確率分布 {{mvar|P{{sub|X}}}} が絶対連続であるとは、[[ルベーグ測度]]が {{math|0}} の <math>\mathbb{R}</math> の[[部分集合]] {{mvar|N}} をとる確率が {{math|0}} である。絶対連続 ⊆ 連続であり、絶対連続分布 ⊆ 広義連続分布 ⊆ 連続型確率変数の確率分布である。
 
ルベーグ測度が {{math|0}} の非可算な集合(たとえば[[カントール集合]])も存在するため、累積分布関数が連続(つまり、任意の実数 {{mvar|a}} について {{math2|P(''X'' {{=}} ''a'') {{=}} 0}})であっても絶対連続でない例が存在する。[[カントール分布]]は(本来の意味では)連続だが、絶対連続ではない。
 
実際の応用においては、確率変数は離散的な場合も絶対連続な場合も、それらの混合の場合もある。しかし、カントール分布は離散的でも離散分布と絶対連続分布の重み付き平均でもない。
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