「順序集合」の版間の差分
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Mikadukimooo (会話 | 投稿記録) →{{anchors|上界|下界|上限|下限|最大|最小|極大|極小}}上界、最大、極大、上限、上方集合: 論理記号やresp. を使わない形に変更。 |
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== {{anchors|上界|下界|上限|下限|最大|最小|極大|極小}}上界、最大、極大、上限、上方集合==
{{mvar|P}} を[[#半順序集合|半順序集合]]とし、{{mvar|A}} をその[[部分集合]]とし、{{mvar|x}} を {{mvar|P}} の[[元 (数学)|元]]とする。このとき上界、上限、最大、極大
=== 定義 ===
* {{mvar|x}} が {{mvar|A}} の'''上界'''
* {{mvar|x}} が {{mvar|A}} の'''上限'''
* {{mvar|x}} が {{mvar|A}} の'''最大元'''
* {{mvar|x}} が {{mvar|A}} の'''極大元'''
* {{mvar|x}} が {{mvar|A}} の'''下界'''であるとは、任意の {{mvar|A}} の元 {{mvar|y}} に対して {{math|''y'' ≥ ''x''}} となること。
* {{mvar|x}} が {{mvar|A}} の'''下限'''であるとは、{{mvar|x}} が {{mvar|A}} の下界全体の集合の最大元となること。
* {{mvar|x}} が {{mvar|A}} の'''最小元'''であるとは、{{mvar|x}} は {{mvar|A}} の元であり、かつ {{mvar|x}} は {{mvar|A}} の下界であること。
* {{mvar|x}} が {{mvar|A}} の'''極小元'''であるとは、{{mvar|x}} は {{mvar|A}} の元であり、かつ {{math|''y'' < ''x''}} を満たす {{math|''y'' ∈ ''A''}} が存在しないこと。
上界および上限の定義において、 {{mvar|x}} が {{mvar|A}} に必ずしも属しているとは限らない、ことには注意が必要である。
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