「三角錐数」の版間の差分
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:[[1]], [[4]], [[10]], [[20]], [[35]], [[56]], [[84]], [[120]], [[165]], [[220]], [[286]], [[364]], [[455]], [[560]], [[680]], [[816]], [[969]], …（{{OEIS|A292}}）
== 性質 ==
* 三角錐数のうち[[平方数]]でもある数は 1, 4 と 19600 (=140<sup>2</sup>) の3つのみである。({{OEIS|A003556}})
* 三角錐数でなおかつ[[四角錐数]]でもある数は 1 のみである。
* 三角錐数のうち[[三角数]]でもある数は[[1]], [[10]], [[120]], 1540, 7140 の5つのみである。（{{OEIS|A027568}}）
* 2つの連続する三角錐数の和は[[四角錐数]]になる。
* 三角錐数の奇数番目は奇数の[[平方和]]、偶数番目は偶数の平方和で表される。(例.35=1{{sup|2}}+3{{sup|2}}+5{{sup|2}}、56=2{{sup|2}}+4{{sup|2}}+6{{sup|2}})
:奇数の時 <math>\sum_{k=1}^n (2k-1)^2=\frac{(2n-1)\cdot 2n\cdot (2n+1)}{6} </math>
:偶数の時 <math>\sum_{k=1}^n (2k)^2=\frac{2n(2n+1)(2n+2)}{6} </math>
* 三角錐数は[[奇数]]-[[偶数]]-偶数-偶数といった順番の繰り返しで現れる。
:(奇数…{{OEIS|A015219}}、偶数…{{OEIS|A015220}})
[[画像:Pascal triangle.svg|right|thumb|350px|パスカルの三角形]]
* [[パスカルの三角形]]における[[数列]]は左にある列から順に
:モナド([[単数]])の数列 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,…, 1,…
:自然数の数列 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,…, <math>{}_{n}{\rm C}_{1} \,</math> ,…
:[[三角数]]の数列 [[1]], [[3]], [[6]], [[10]], [[15]], [[21]], [[28]], [[36]], [[45]],…, <math>{}_{n+1}{\rm C}_{2} \,</math> ,…
:三角錐数の数列 [[1]], [[4]], [[10]], [[20]], [[35]], [[56]], [[84]], [[120]], [[165]],…, <math>{}_{n+2}{\rm C}_{3} \,</math> ,…
となっている。上にある数列はその一つ下の数列の[[階差数列]]である。
* 三角錐数の[[逆数]]の[[総和]]は
:<math>\begin{align} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\frac{k(k+1)(k+2)}{6}} &= 6 \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2} \left(\frac{1}{k} - \frac{2}{k+1} +\frac{1}{k+2}\right)\\ &= 3 \bigg\{\left(\frac{1}{1} - \frac{2}{2} + \frac{\not1}{\not3}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{\not2}{\not3} + \frac{\color{Red}\not1}{\color{Red}\not4}\right) + \left(\frac{\not1}{\not3} - \frac{\color{Red}\not2}{\color{Red}\not4} + \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{\color{Red}\not1}{\color{Red}\not4} - \frac{2}{5} + \frac{1}{6}\right) + \cdots \bigg\}\\ &= \frac{3}{2}\end{align}</math>
== 関連項目 ==
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