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== 実数の表現 ==
与えられた実数 <math>{{mvar|x</math> }}と <{{math>|2</math> }}以上の自然数 <math>{{mvar|n</math> }}に対して、<math>，{{mvar|x</math> }}の <math>{{mvar|n</math> }}進無限小数表記を与える無限数列 <{{math>a_0|{{mvar|a}}{{sub|0}}, a_1{{mvar|a}}{{sub|1}}, a_2{{mvar|a}}{{sub|2}}, \cdots </math> …}}の各項の値を決定する二種類の手続きを次のように与える。これらの手続きのどちらを採用してもその表記は一意的に定まるが、<{{math>|0</math> }}以外の有限小数に対する無限小数表記は採用した手続きによって異なるものとなる。
一つ目：
# <{{math> |{{mvar|x}} {{=}} 0 </math> }}であれば、全ての項を <{{math>|0</math> }}としてここで終了する。
# <{{math> a_0|{{mvar|a}}{{sub|0}} {{=}} \&lceil \operatorname{;abs}({{mvar|x}}) \⌉ {-}− 1, \ {{mvar|x'′}} {{=}} \operatorname{abs}({{mvar|x}}) − {-{mvar|a}}{{sub|0}} a_0 \in∈ (0, 1] , \ p_1{{mvar|p}}{{sub|1}} {{=}} 0</math>}}（<{{math>\|&lceil \cdot \;⋅&rceil</math>：;}}: [[天井関数|天井函数]]、<math>\operatorname，{{math|abs}(\cdot⋅)</math>：}}: [[絶対値]]）とし、<，{{math>|{{mvar|i}} {{=}} 1</math> }}とおく。
# 区間 <{{math>|(p_i{{mvar|p}}{{sub|{{mvar|i}}}}, p_i{+{mvar|p}}\frac{{sub|{{mvar|i}}}} + {{sfrac|{{mvar|n}}|{{mvar|n^}}{{sup|i}}}}]</math> }}を <math>{{mvar|n</math> }}[[等分]]し、その両端点と <{{math>n|{-{mvar|n}}1</math> − 1}}個の等分点を左から <math>s_{i,0}=p_i, s_{i,1}, \cdots, s_{i,j} = p_i {+} \frac{j}{n^i}, \cdots, s_{i,n-1}, s_{i,n}=p_i{+}\frac{n}{n^i}</math> とする。
# <math>{{mvar|j</math> }}を <{{math>|0</math> }}から <{{math>n|{-{mvar|n}}1</math> − 1}}まで移動させ、<{{math>|{{mvar|x'}}′ \in∈ (s_{{mvar|s}}{{sub|{{mvar|i, j}}}}, s_{{mvar|s}}{{sub|{{mvar|i, j}} + 1}}]</math> }}なる <math>{{mvar|j</math> }}が存在すればそこで <math>{{mvar|j</math> }}を固定し、<{{math>a_i|{{mvar|a}}{{sub|{{mvar|i}}}} {{=}} {{mvar|j}}, \ p_{{mvar|p}}{{sub|{{mvar|i}} + 1}} {{=}} s_{{mvar|s}}{{sub|{{mvar|i, j}</math> }}}}}とした後、<math>，{{mvar|i</math> }}に <{{math>|1</math> }}を加算して 3. に戻る。
こうして得られた数列 <math>a_n</{{math> |{{mvar|a}}{{sub|{{mvar|n}}}}}}は、<{{math>|1</math> }}以降の <math>{{mvar|i</math> }}に対して <{{math>|0 \≤ a_i{{mvar|a}}{{sub|{{mvar|i}}}} \≤ n{-{mvar|a}}{{sub|{{mvar|n}}1</math> − 1}}}}を満たすから、<math>a_i</{{math> |{{mvar|a}}{{sub|{{mvar|i}}}}}}は <math>{{mvar|n</math> }}進法を用いて <{{math>|1</math> }}桁の数字で表現できる。ここで、<{{math>\|sgn  {{mvar|x</math> }}}}を[[符号関数]]とし、<{{math>|(\sgn  {{mvar|x}}) a_0</math> {{mvar|a}}{{sub|0}}}}の <math>{{mvar|n</math> }}進法表記の後に {{math|. }}を付け（これを'''小数点'''と呼ぶ）、数字 <{{math>a_i</math> |{{mvar|a}}{{sub|{{mvar|i}}}}}}を列記してできる表記、即ち
: <math>x = (\sgn x)a_0.a_1 a_2 a_3 \dots</math>
: {{math|{{mvar|x}} {{=}} (sgn {{mvar|x}}){{mvar|a}}{{sub|0}}.{{mvar|a}}{{sub|1}}{{mvar|a}}{{sub|2}}{{mvar|a}}{{sub|3}}…}}
という形で無限小数表記が得られた。この手続きによる場合、無限数列 <{{math>a_i</math> |{{mvar|a}}{{sub|{{mvar|i}}}}}}の途中の項から <{{math>|0</math> }}が無限に続くのは <{{math>|0</math> }}しかない。
二つ目：
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