「ヒルベルトの第3問題」の版間の差分
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→デーンの解答: 訳語揺れ修正（分割合同）、すみません |
→デーンの解答: 誤記修正（R->Z） |
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多面体の不変量は辺長と[[二面角]]に基づいて定義される。多面体が切断されるとき、いくつかの辺も2つに切断され（これらはデーン不変量に対し辺長に比例した寄与をしていなければいけない）、もし切断面がある辺を含むなら、対応する面の角は2つに分割される。切断によって通常は新しい辺や角が生まれるが、これらのデーン不変量への寄与はちょうど打ち消し合うよう定義をしなくてはならない。ある面が2つの面に分かれるとき、新たに生じる二面角の和は必ず [[円周率|{{pi}}]] に等しいことから、{{pi}} の整数倍の加減による寄与がトータルでゼロになるように不変量を定義することにする。
以上全ての要請は、D(''P'') を[[実数|実数体]] '''R''' と [[剰余加群]] '''R'''/('''Q'''{{pi}}) の[[テンソル積]]として定義することで実現できる。このテンソル空間では、第2成分が {{pi}} の有理数倍である元はゼロである。第3問題の解決のためだけならば[[有理整数環]] '''
''ℓ''(''e'') を辺 ''e'' の長さ、θ(''e'') をこの辺を共有する二面のなす角（単位は[[ラジアン]]）とする。このときデーン不変量を
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