「パウリ行列」の版間の差分
削除された内容 追加された内容
→その他: ヒルベルト＝シュミット内積を追記 |
節立ての変更、複素行列の展開の説明追加 |
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33行目:
==基本的な性質==
パウリ行列は次の性質を満たす<ref name ="igi_kawai1994"></ref><ref name ="sakurai_napolitano2010"></ref>。
===エルミート性・ユニタリ性===
パウリ行列は
:<math>\sigma_k^\dagger =\sigma_k \qquad (k=1,2,3)</math>
を満たす[[エルミート行列]]であり、
:<math>\sigma_k^\dagger \sigma_k =\sigma_k \sigma_k^\dagger = I \qquad (k=1,2,3)</math>
を満たす[[ユニタリー行列]]でもある。
=== パウリ行列の積 ===
パウリ行列の自乗は単位行列に等しい。
65 ⟶ 72行目:
&|\sigma_{3,+}\rangle ={}& &\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix},& &|\sigma_{3,-}\rangle ={}& &\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}
\end{alignat}</math>
である。
===トレース・行列式===
パウリ行列
:<math>
\begin{align}
88 ⟶ 94行目:
である。
単位行列を含めたパウリ行列 {{math|σ<sub>''
:<math>
\operatorname{Tr}(\
</math>
97 ⟶ 103行目:
==複素行列の展開==
2x2複素行列空間{{math|Mat(2,{{mathbf|C}})}}において、単位行列を含むパウリ行列は[[直交]][[基底 (線型代数学)|基底]]をなす<ref>内積はヒルベルト＝シュミット内積とする。</ref>。よって、任意の2×2[[複素行列]] {{mvar|A}} は単位行列を含むパウリ行列 {{math|''σ<sub>μ</sub>'' (''μ''{{=}}0,1,2,3)}} の[[線形結合]]として、次の形で書ける。▼
▲任意の2×2[[複素行列]] {{mvar|A}} は単位行列を含むパウリ行列 {{math|''σ<sub>μ</sub>'' (''μ''{{=}}0,1,2,3)}} の[[線形結合]]として、次の形で書ける。
:<math>
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