「ネイマン・ピアソンの補題」の版間の差分
削除された内容 追加された内容
m 尤度となるべきものが事後確率になっていた |
en:Neyman–Pearson lemma (06:27, 11 June 2019 UTC), "Proof"節を訳出し加筆（ただし記号は日本語版にあわせて書き換えた） |
||
11行目:
「αを決めておき、その中で検出力が最も大きい検定法を選択する」という方針を'''ネイマン・ピアソンの基準'''という。この補題はその方法を具体的に与えるものである。ただしこの尤度比検定法が直接用いられるよりも、近似が用いられることが多い。
== 証明 ==
（尤度は確率密度関数 <math>f</math> で与えらているものとする。また、この補題において構成される尤度比検定は、危険率が <math>\alpha</math> 以下のあらゆる検定法の中で検出力が最大となっていることを示す。）
ネイマン・ピアソンの補題における帰無仮説の棄却域は
:<math>R_{NP}=\left\{ x : \frac{f(x \mid \theta_0)}{f(x \mid \theta_1)} \leq k \right\}</math>
である。ここで <math>k</math> は <math>Pr(X \in R_{NP}| H_0)=\alpha</math> となるようとった定数。
危険率が <math>\alpha</math> 以下の検定法を任意に取ってきて、その棄却域を <math>R_A</math> とする。
:<math>\alpha= Pr(X \in R_{NP}| H_0) \geq Pr(X \in R_A| H_0).</math>
任意の母数に対し、確率の値は次のような2項の和に分けることができる。
:<math>\begin{align}
Pr(X \in R_{NP} |\theta) &= Pr(X \in R_{NP} \cap R_A |\theta) + Pr(X \in R_{NP} \cap R_A^c |\theta) \\
Pr(X \in R_A |\theta) &= Pr(X \in R_{NP} \cap R_A |\theta) + Pr(X \in R_{NP}^c \cap R_A |\theta)
\end{align}</math>
<math>\theta=\theta_0</math> とすれば、
:<math>Pr(X \in R_{NP} \cap R_A^c | H_0) \geq P(X \in R_{NP}^c \cap R_A | H_0)</math>
である。
それぞれの検定法の検出力は <math>Pr(X \in R_{NP} | H_1)</math>, <math>P(X \in R_A| H_1)</math> であるので
:<math>Pr(X \in R_{NP}| H_1) \geq Pr(X \in R_A| H_1) </math>
を証明すれば良い。上記の等式よりこれは
:<math>Pr(X \in R_{NP} \cap R_A^c | H_1) \geq Pr(X \in R_{NP}^c \cap R_A | H_1) </math>
と同値である。そこで以下、この不等式を示す。
:''<math>\begin{align}
Pr(X \in R_{NP} \cap R_A^c | H_1) &= \int_{R_{NP}\cap R_A^c} f(x \mid \theta_1)\,dx \\ [4pt]
&\geq \frac{1}{k} \int_{R_{NP}\cap R_A^c} f(x \mid \theta_0)\,dx && \text{by definition of } R_{NP} \text{ this is true for its subset}\\ [4pt]
&= \frac{1}{k}Pr(X \in R_{NP} \cap R_A^c | H_0) \\ [4pt]
&\geq \frac{1}{k}Pr(X \in R_{NP}^c \cap R_A | H_0) \\ [4pt]
&= \frac{1}{k}\int_{R_{NP}^c \cap R_A} f(x \mid \theta_0)\,dx \\ [4pt]
&> \int_{R_{NP}^c\cap R_A} f(x \mid \theta_1)\, dx && \text{by definition of } R_{NP} \\ [4pt]
& = Pr(X \in R_{NP}^c \cap R_A | H_1)
\end{align}</math>''
==関連項目==
| |||