「一様収束」の版間の差分

区間 ''{{mvar|S''}} 上の関数列 ''{{mvar|f{{sub|n}}''}} が[[微分可能]]で極限関数 ''{{mvar|f''}} に収束するとき、極限関数 ''{{mvar|f''}} の微分導関数を関数列 ''{{mvar|f{{sub|n}}''}} の微分導関数の極限として得たい。ところが、これは一般には不可能である。たとえ収束が一様であったとしても、極限関数は微分可能とは限らない。さらに微分可能であったとしても、極限関数の微分が関数列の微分の極限と一致するとも限らない。例えば <math> \textstyle f_n(x) = \frac{1}{n} \sin(nx) </math> は一様極限が {{math|0}} であるが、その微分は {{math|0}} に収束しない。関数列の極限と関数列の微分の極限の関係を保証するには、関数列の微分の一様収束に加えて、 少なくとも一点での収束が必要となる。厳密な主張は次のようになる<ref>Rudin, Walter. ''Principles of Mathematical Analysis'' Third edition. 1976. McGraw-Hill International editions.</ref>。

: '''定理''' 区間 {{math|[''a'', ''b'']}} 上で微分可能な関数列 ''{{mvar|f{{sub|n}}''}} に対し、区間 {{math|[''a'', ''b'']}} 上のある点 {{math|''x''{{sub|0}}}} において {{math|''f{{sub|n}}''(''x''{{sub|0}})}} は収束し、関数列 {{math|(''f''{{sub|''n}}'')}}&prime; は区間 {{math|[''a'', ''b'']}} 上で一様収束すると仮定する。このとき関数列 ''{{mvar|f{{sub|n}}''}} は関数 ''{{mvar|f''}} に一様収束し、{{math|''x'' &isin;∈ [''a'', ''b'']}} に対して <math> \textstyle f'(x) = \lim_{n \to \infty} {f_n}'(x) </math> が成り立つ。