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「ラゲールの陪多項式」の版間の差分

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{{出典の明記|date=2015年6月}}
'''ラゲールの陪多項式'''（ラゲールのばいたこうしき、associated Laguerre polynomials）とは、[[常微分方程式]]
:<math>\left( x\frac{d^{k+2}}{dx^{k+2}}+(k+1-x)\frac{d^{k+1}}{dx^{k+1}}+(n-k) \dfracfrac{d^k}{dx^k}\right) L^k_n(x)=0</math>
を満たす多項式 <math>L^k_n(x)</math> のことを言う。ただし <math>k</math> は <math>0\le k \le n</math> を満たす整数である。
 
<math>k=0</math> のときの微分方程式は'''ラゲールの微分方程式'''と呼ばれ、その解 <math>L_n(x)</math> を'''ラゲールの多項式'''という。
ラゲールの陪多項式とラゲールの多項式は次の関係で結ばれている。
:<math>L^k_n(x)=\dfracfrac{d^k}{dx^k}L_n(x)</math>
 
また[[ロドリゲスの公式]] (Rodrigues's Formula) として以下の形にも表せる。
:<math>\begin{align}
L^k_n(x) &=& \dfracfrac{d^k}{dx^k}\left( e^x \dfracfrac{d^n}{dx^n}\left(x^n e^{-x}\right)\right) \\▼
\begin{array}{lcl}
&=&\displaystyle{ \sum_{m=0}^{n-k}(-1)^{m+k} \dfracfrac{(n!)^2}{m!(m+k)!(n-m-k)!}x^m}▼
▲L^k_n(x)&=&\dfrac{d^k}{dx^k}\left( e^x \dfrac{d^n}{dx^n}\left(x^n e^{-x}\right)\right) \\
\end{align}</math>
▲&=&\displaystyle{\sum_{m=0}^{n-k}(-1)^{m+k}\dfrac{(n!)^2}{m!(m+k)!(n-m-k)!}x^m}
\end{array}
</math>
 
[[母関数]]は
:<math>G(t,x)=\dfracfrac{(-1)^k}{(1-t)^{k+1}}\exp \left({-\dfracfrac{xt}{1-t}}\right)
=\sum_{n=0} ^\infty L^k_n(x) \dfracfrac{t^{n-k}}{n!}</math>
である。
 
<math>k=0</math> のとき<math>L_n(x)</math>について
:<math>x\dfracfrac{d}{dx}L_n(x)=nL_n(x)-n^2L_{n-1}(x)</math>
:<math>L_{n+1}(x)=(2n+1-x)L_n(x)-n^2L_{n-1}(x)</math>
という漸化式が成り立ち、後者から
:<math>L_0(x)=1</math>\begin{align}
L_0(x)&=1 \\
:<math>L_1(x)&=-x+1</math> \\
:<math>L_2(x)=x^2-4x+2</math>
:<math>L_3L_2(x)&=-x^3+9x^2-18x4x+6</math>2 \\
L_3(x)&=-x^3+9x^2-18x+6
\end{align}</math>
である。
 
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* {{MathWorld|title=Laguerre Polynomial|urlname=LaguerrePolynomial}}
 
{{DEFAULTSORT:らけえるのはいたこうしき}}
[[Category:微分方程式]]
[[Category:直交多項式]]
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