「開集合」の版間の差分

[[File:red blue circle.svg|right|thumb|Example: The blue circle represents the set of points (''x'', ''y'') satisfying例：青い[[円周]]は {{nowrap|1=''x''² + ''y''² = ''r''²}}. The red disk represents the set of pointsを満たす点 (''x'', ''y'') satisfyingの集合。赤い[[円板]]は {{nowrap|''x''² + ''y''² < ''r''²}}. Theを満たす点 red set is an open set(''x'', the''y'') blue set is its boundary set, and the union of the red and blue sets is aの集合。赤色の集合は開集合、青色の集合はその[[境界 (位相空間論)|境界]]、これらを併せた集合は[[closed set閉集合]].である。]]

[[実数]]全体の成す集合 {{mathbf|ℝ}} には、自然な[[ユークリッド距離]]（二つの実数 {{mvar|x, y}} の[[絶対差|違い]]を測る函数 {{math|''d''(''x'', ''y'') {{coloneqq}} {{abs|''x − y''}}}}）がある。これを用いて、与えられた実数に対して、その実数の近い点（つまり、与えられた実数を {{mvar|x}} として、{{mvar|x}} からの距離が {{mvar|ε}} 内にあるような点）全体の成す集合について述べることができる。本質的に、{{mvar|x}} と {{mvar|ε}} 以内にある点は、{{mvar|ε}} の精度で {{mvar|x}} を近似するものである。着目すべきは、{{math|ε > 0}} を常に保ったまま {{mvar|ε}} をより小さくしていけば、{{mvar|x}} をより高い精度で近似する点が得られることである。例えば、{{math|''x'' {{coloneqq}} 0, ''ε'' {{coloneqq}} 1}} とすれば、{{mvar|x}} と {{mvar|ε}} 内の距離にある点全体は、ちょうど[[開区間]] {{open-open|−1, 1}} に属する点（つまり、{{math|−1}} から {{math|1}} までの任意の実数）の全体になっている。同様に、{{math|ε {{coloneqq}} 0.5}} とすれば、{{mvar|x}} と {{mvar|ε}} 内の距離にある点全体は開区間 {{open-open|-0.5, 0.5}} に他ならず、明らかにこちらの点のほうが {{math|1=''ε'' = 1}} の場合と比べて精度が高い。

このように、{{mvar|ε}} をどれほどでも小さく定義すれば、{{mvar|x}} の近似の精度はどれほどでも高くできる。特に、開区間{{open-open|-''ε'', ''ε''}} の形の集合は {{math|1=''x'' = 0}} の近くの点に関するたくさんの情報を与えるものとなる。そこで、具体的なユークリッド距離の代わりに、このような集合を {{mvar|x}} に近い点の記述に用いることができる。この画期的な考えは広範にわたって重大な結果を持もたらす。特に、{{math|0}} を含む（{{open-open|-''ε'', ''ε''}} ではない）別な種類の集合の集まりを定義することで、{{math|0}} とほかの実数との距離に関する異なる結果を求めることができる。例えば、そのように「距離を測る」集合は {{mathbf|ℝ}} のみと定めれば、{{math|0}} を近似する精度はこの {{mathbf|ℝ}} ただ一つなのであるから、{{mathbf|ℝ}} の元である任意の実数が {{math|0}} に近い（ある意味では、{{math|0}} と任意の実数との距離が {{math|0}} であると思える）ということになる。このような測り方はつまり、{{mathbf|ℝ}} に入るならば {{math|0}} に近く、{{mathbf|ℝ}} に入らないならば {{math|0}} に近くない、という二択条件と考えればよい。

一般に、{{math|0}} の近似に用いる、{{math|0}} を含む集合族として'''[[近傍系|開近傍系]]'''について言及することになる。が定まり、その元は'''開集合'''は、近傍系の元として表呼ばれてくる。実は、これらのことは実数の集合 {{mathbf|ℝ}} に限らず任意の集合 {{mvar|X}} に対して一般化することができる。その場合、集合 {{mvar|X}} の与えられた点 {{mvar|x}} に対して、{{mvar|x}} の近似に用いる {{mvar|x}} の「周囲」の（つまり {{mvar|x}} を含む）集合の族を定義することができる。もちろん、そのような族は（'''公理'''と呼ばれる）ある種の性質を満足するようにしなければならない（そうでないと距離を測る方法が[[well-defined|きちんと定義]]できない）。たとえば、{{mvar|X}} に属する任意の点は {{mvar|x}} を何らかの精度で近似するはずであるから、{{mvar|X}} は当該の集合族に入っているべきものである。ひとたび {{mvar|x}} を含む「より小さい」集合を定義し始めれば、{{mvar|x}} をより高い精度で近似するようになるとい方向へ向かったていく。このようなことを念頭に、{{mvar|x}} の周りの集合族が満足することが求められるほかの公理も定められていることができる。

位相空間 {{mvar|X}} の任意の[[部分集合]] {{mvar|A}} は必ず開集合（空集合でもよい）を含むが、そのような開集合の中で最大のものをは {{mvar|A}} の[[内部 (位相空間論)|内部]]と呼ばれる。{{mvar|A}} の内部は {{mvar|A}} に含まれる開集合すべての合併をとることで構成できる。

このことの具体例を挙げれば、{{mvar|U}} を開区間 {{open-open|0, 1}} に属する有理数全体の成す集合とするとき、{{mvar|U}} は[[有理数]]全体の成す空間 {{mathbf|ℚ}} の開部分集合だが、[[実数直線]] {{mathbf|ℝ}} の部分集合としては開でない。これは実際、全体空間を {{mathbf|ℚ}} とするとき、各点 {{math|''x'' ∈ ''U''}} に対し、正の数 {{mvar|ε}} が存在して、{{mvar|x}} との距離が {{mvar|ε}} 以内のすべての「有理」点が {{mvar|U}} に入るといようにすること。ができ、他方、全体空間を {{mathbf|ℝ}} とするならば、どのような {{math|''x'' ∈ ''U''}} を取っても、正の数 {{mvar|ε}} で {{mvar|x}} の {{mvar|ε}} 以内にあるすべての「実」点が {{mvar|U}} に入るようなものは存在しない（{{mvar|U}} は有理数でない数は含まないから）ということによる。