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| 名前 = 多変量正規分布
| 型 = 密度
| 画像/確率関数 = [[Image:MultivariateNormal.png|300px]]<br/><math>\boldsymbol\mu = \left[\begin{smallmatrix}0 \\ 0\end{smallmatrix}\right], \boldsymbol\Sigma = \left[\begin{smallmatrix}1 & 3/5 \\ 3/5 & 2\end{smallmatrix}\right]</math> の多変量正規分布に従う標本点を多数とったもの。3σ を表す楕円、2つの周辺分布、およびそれらの1次元[[ヒストグラム]]も同時に示した。</small>
| 画像/分布関数 =
| 母数 = '''''μ''''' ∈ '''R'''<sup>''k''</sup> — 位置<br/>'''Σ''' ∈ '''R'''<sup>''k'' × ''k''</sup> — 分散共分散（半正定値行列）
| 台 = '''''x''''' ∈ '''''μ''''' + span('''Σ''') ⊆ '''R'''<sup>''k''</sup>
| 確率関数 = <math>(2\pi)^{-\frac{k}{2}}\det(\boldsymbol\Sigma)^{-\frac{1}{2}} \, e^{ -\frac{1}{2}(\mathbf{x} - \boldsymbol\mu)^{{{\!\mathsf{T}}}} \boldsymbol\Sigma^{-1}(\mathbf{x} - \boldsymbol\mu) },</math><br/>存在するのは '''Σ''' が正定値行列であるときに限る。
| 分布関数 =
| 期待値 = '''''μ'''''
| 中央値 =
| 最頻値 = '''''μ'''''
| 分散 = '''Σ'''
| 尖度 =
| 歪度 =
| エントロピー = <math>\frac{1}{2} \ln \det\left(2 \pi \mathrm{e} \boldsymbol\Sigma\right)</math>
| モーメント母関数 = <math>\exp\!\Big( \boldsymbol\mu^{{{\!\mathsf{T}}}} \mathbf{t} + \tfrac{1}{2} \mathbf{t}^{{{\!\mathsf{T}}}} \boldsymbol\Sigma \mathbf{t}\Big)</math>
| 特性関数 = <math>\exp\!\Big( i\boldsymbol\mu^{{{\!\mathsf{T}}}} \mathbf{t} - \tfrac{1}{2} \mathbf{t}^{{{\!\mathsf{T}}}} \boldsymbol\Sigma \mathbf{t}\Big)</math>
}}
[[確率論]]と[[統計学]]において、'''多変量正規分布'''（たへんりょうせいきぶんぷ、{{Lang-en-short|multivariate normal distribution}}）または'''多次元正規分布'''、あるいは'''結合正規分布'''（{{Lang-en-short|joint normal distribution}}）、もしくはこれらの語で「正規分布」を「ガウス分布」に換えたもの、は1次元の[[正規分布]]を[[次元 (数学)|高次元]]へと一般化した[[確率分布]]である。{{仮リンク|ベクトル値確率変数|en|random vector}}が ''k'' 変量正規分布に従うとは、それらの ''k'' 個の成分（実数値[[確率変数]]）の任意の（実係数）[[線型結合]]が1変量正規分布に従うことを言う。この分布の重要性は主として、多変数の場合の[[中心極限定理]]の[[確率変数の収束|分布収束]]先として現れることによる。多変量正規分布はしばしば、少なくとも近似的に、互いに[[相関係数|相関]]を持ち、平均ベクトルの周辺に値が集中するような確率変数の組を記述するのに用いられる。
== 記法とパラメータ ==
''k'' 次元ベクトル値確率変数 <math>\mathbf{X} = (X_1,\ldots,X_k)</math> が多変量正規分布に従っていることを、次のように記す：
: <math>
\mathbf{X}\ \sim\ \mathcal{N}(\boldsymbol\mu,\, \boldsymbol\Sigma)
</math>
もしくは ''X'' が ''k'' 次元であることを明示して
: <math>
\mathbf{X}\ \sim\ \mathcal{N}_k(\boldsymbol\mu,\, \boldsymbol\Sigma)
</math>
と書くこともある。
ここで ''k'' 次元[[平均]]ベクトルは
:<math> \boldsymbol\mu = \operatorname{E}[\mathbf{X}] = ( \operatorname{E}[X_1], \operatorname{E}[X_2], \ldots, \operatorname{E}[X_k] ), </math>
であり、<math>k \times k</math> [[分散共分散行列]]は
:<math> \Sigma_{i,j} := \operatorname{E} [(X_i - \mu_i)( X_j - \mu_j)] = \operatorname{Cov}[X_i, X_j] </math>
（ただし <math>1 \le i,j \le k</math>）である。分散共分散行列の[[正則行列|逆行列]]は精度行列（precision matrix）と呼ばれ、<math>\boldsymbol{Q}=\boldsymbol\Sigma^{-1}</math> と記す。
== 定義 ==
===標準正規確率変数ベクトル===
実数値確率変数から成るベクトル <math>\mathbf{X} = (X_1,\ldots,X_k)^{\mathrm T}</math> が標準正規確率変数ベクトル（standard normal random vector）であるとは、それらの成分 <math>X_n</math> が[[独立 (確率論)|独立]]であって、いずれも平均 1、分散 0 の正規分布に従っている（全ての <math>n</math> に対し、<math>X_n \sim\ \mathcal{N}(0,1)</math>）ことを言う<ref name=Lapidoth>{{cite book |first=Amos |last=Lapidoth |year=2009 |title=A Foundation in Digital Communication |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-0-521-19395-5}}</ref>{{rp|p. 454}}。
===中心化正規確率変数ベクトル===
実数値確率変数から成るベクトル <math>\mathbf{X} = (X_1,\ldots,X_k)^{\mathrm T}</math> が中心化正規確率変数ベクトル（centered normal random vector）であるとは、 <math>k \times \ell</math> 実成分定行列 <math>\boldsymbol{A}</math> が存在して、<math>\boldsymbol{A} \mathbf{Z}</math> が <math>\mathbf{X}</math> と同一の確率分布に従うことを言う。ここで <math>\mathbf{Z}</math> は <math>\ell</math> 次元標準正規確率変数ベクトルである<ref name=Lapidoth/>{{rp|p. 454}}。
===正規確率変数ベクトル===
確率変数ベクトル <math>\mathbf{X} = (X_1,\ldots,X_k)^{\mathrm T}</math> が正規確率変数ベクトルであるとは、<math>\ell</math> 成分の標準正規確率変数ベクトル <math>\mathbf{Z}</math>、<math>k</math> 次元平均ベクトル <math>\mathbf{\mu}</math>、および <math>k \times \ell</math> 行列 <math>\boldsymbol{A}</math> があって、 <math>\mathbf{X}=\boldsymbol{A} \mathbf{Z} + \mathbf{\mu}</math> と書けることを言う<ref name=Gut>{{cite book |first=Allan |last=Gut |year=2009 |title=An Intermediate Course in Probability |publisher=Springer |isbn=978-1-441-90161-3}}</ref>{{rp|p. 454}}<ref name=Lapidoth/>{{rp|p. 455}}。
形式的に表すと：
{{Equation box 1
|indent =
|title=
|equation =
<math>
\mathbf{X}\ \sim\ \mathcal{N}(\mathbf{\mu}, \boldsymbol\Sigma) \quad \iff \quad \text{there exist } \mathbf{\mu}\in\mathbb{R}^k,\boldsymbol{A}\in\mathbb{R}^{k\times \ell} \text{ such that } \mathbf{X}=\boldsymbol{A} \mathbf{Z} + \mathbf{\mu} \text{ for } Z_n \sim\ \mathcal{N}(0, 1), \text{i.i.d.}
</math>
|cellpadding= 6
|border
|border colour = #0073CF
|background colour=#F5FFFA}}
このとき共分散行列は <math>\boldsymbol\Sigma = \boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{\mathrm T}</math> となる。
共分散行列が非正則である（[[退化 (数学)|退化]]している）場合、対応する多変量正規分布は（連続であるような）[[確率密度関数]]を持たない。このような事態は統計学ではしばしば起こり、例えば、[[最小二乗法]]における残差ベクトルがそうした分布に従うことがある。
また、ここでの成分 <math>X_i</math> の集まりは一般的には独立な確率変数ではないことに注意する。これらは独立な正規確率変数の集まり <math>\mathbf{Z}</math> に行列 <math>\boldsymbol{A}</math> を作用させたものである。
=== 同値な定義 ===
上記の定義で用いた条件は、以下のいずれの条件とも同値である。ベクトル値確率変数 <math>\mathbf{X} = (X_1,\ldots,X_k)^T</math> はこれらのいずれかが成り立つとき、多変量正規分布に従うと言う。
* 任意の線型結合 <math>Y=a_1 X_1 + \cdots + a_k X_k</math>（<math>\mathbf{a} \in \mathbb{R}^k</math> を定ベクトルとして <math>Y=\mathbf{a}^{\mathrm T}\mathbf{X}</math>）が（1変量）正規分布に従う。ただし分散が 0 の正規分布とは、その平均の位置に確率 1 の[[確率質量関数|確率質量]]を持つような確率分布を意味することとする。
* ''k'' 成分ベクトル <math>\mathbf{\mu}</math> と <math>k \times k</math> [[対称行列|対称]][[行列の定値性|半正定値]]行列 <math>\boldsymbol\Sigma</math> が存在して、<math>\mathbf{X}</math> の[[特性関数 (確率論)|特性関数]]が
:: <math>
\varphi_\mathbf{X}(\mathbf{u}) = \exp\Big( i\mathbf{u}^T\boldsymbol\mu - \tfrac{1}{2} \mathbf{u}^T\boldsymbol\Sigma \mathbf{u} \Big)
</math>
:と書ける。
球面正規分布（spherical normal distribution）とは、どんな直交座標系で表示しても確率変数ベクトルの各成分が独立となるような分布、と特徴付けられる<ref>{{cite journal |last1=Kac |first1=M. |title=On a characterization of the normal distribution |journal=American Journal of Mathematics |date=1939 |volume=61 |issue=3 |pages=726–728 |jstor=2371328 |doi=10.2307/2371328 }}</ref><ref>{{cite journal |last1=Sinz |first1=Fabian |last2=Gerwinn |first2=Sebastian |last3=Bethge |first3=Matthias |title=Characterization of the p-generalized normal distribution |journal=Journal of Multivariate Analysis |date=2009 |volume=100 |issue=5 |pages=817–820 |url=|doi=10.1016/j.jmva.2008.07.006 }}</ref>。
== 性質 ==
===確率密度関数===
[[File:Multivariate Gaussian.png|thumb|right|300px|2変量正規分布の[[同時分布]]]]
====非退化の場合====
多変量正規分布が非退化であるとは、共分散行列 <math>\boldsymbol\Sigma</math> が正定値であることである。この場合、分布は次の形の確率密度関数を持つ<ref>[http://www.math.uiuc.edu/~r-ash/Stat/StatLec21-25.pdf UIUC, Lecture 21. ''The Multivariate Normal Distribution''], 21.5:"Finding the Density".</ref>。
{{Equation box 1
|indent =
|title=
|equation =
<math>
f_{\mathbf X}(x_1,\ldots,x_k) = \frac{\exp\left(-\frac 1 2 ({\mathbf x}-{\boldsymbol\mu})^\mathrm{T}{\boldsymbol\Sigma}^{-1}({\mathbf x}-{\boldsymbol\mu})\right)}{\sqrt{(2\pi)^k|\boldsymbol\Sigma|}}
</math>
|cellpadding= 6
|border
|border colour = #0073CF
|background colour=#F5FFFA}}
ここで <math>{\mathbf x}</math> は実 ''k'' 次元列ベクトルで、<math>|\boldsymbol\Sigma|\equiv \det\boldsymbol\Sigma</math> は <math>\boldsymbol\Sigma</math> の[[行列式]]である。<math>\boldsymbol\Sigma</math> が <math>1 \times 1</math> 行列（つまり単一の実数）である場合、この式は1変量正規分布の確率密度関数に帰着する。
{{仮リンク|複素正規分布|en|complex normal distribution}}の場合はこれとはわずかに違った形のものになる。
''k+1'' 次元空間内の任意の「等高線」、つまり確率密度関数の値が等しくなるような点の集合は、[[楕円]]またはその高次元対応物となる。よって多変量正規分布は{{仮リンク|楕円分布|en|complex normal distribution}}の特別な場合である。
記述統計量 <math>\sqrt{({\mathbf x}-{\boldsymbol\mu})^\mathrm{T}{\boldsymbol\Sigma}^{-1}({\mathbf x}-{\boldsymbol\mu})}</math> は[[マハラノビス距離]]として知られ、試験ベクトル <math>{\mathbf x}</math> と平均ベクトル <math>{\boldsymbol\mu}</math> との一種の距離を表す。<math>k = 1</math> の場合、これは[[標準得点]]の絶対値に帰着する。
====2変量の場合====
2次元で非退化の場合（{{nowrap|1=''k'' = rank(Σ) = 2}}）、ベクトル {{nowrap|[''X'' ''Y'']′}}（右肩のダッシュは転置を表す）の確率密度関数は、
: <math>
f(x,y) =
\frac{1}{2 \pi \sigma_X \sigma_Y \sqrt{1-\rho^2}}
\exp\left(
-\frac{1}{2(1-\rho^2)}\left[
\frac{(x-\mu_X)^2}{\sigma_X^2} +
\frac{(y-\mu_Y)^2}{\sigma_Y^2} -
\frac{2\rho(x-\mu_X)(y-\mu_Y)}{\sigma_X \sigma_Y}
\right]
\right)
</math>
となる。ここで ''ρ'' は ''X'' と ''Y'' の[[相関係数]]であり、<math> \sigma_X>0 </math> かつ <math> \sigma_Y>0 </math> である。このとき、
: <math>
\boldsymbol\mu = \begin{pmatrix} \mu_X \\ \mu_Y \end{pmatrix}, \quad
\boldsymbol\Sigma = \begin{pmatrix} \sigma_X^2 & \rho \sigma_X \sigma_Y \\
\rho \sigma_X \sigma_Y & \sigma_Y^2 \end{pmatrix}
</math>
2次元のときは、多変量正規分布であるための同値な条件として挙げた最初の方は、やや緩められる：
:[[可算集合|可算無限]]通りの X と Y の線型結合がどれも正規分布に従うならば、ベクトル {{nowrap|[X Y]′}} は2変量正規分布に従う<ref name=HT/>。
2変数の場合の等高線を ''x,y''-平面にプロットすると楕円になる。相関係数 ''ρ'' が大きくなっていくとき、楕円は次の直線：
: <math>
y(x) = \sgn (\rho)\frac{\sigma_Y}{\sigma_X} (x - \mu _X) + \mu_Y.
</math>
の方向に向かって押しつぶされていく。この背景として、この式の sgn(''ρ'') （"sgn" は[[符号関数]]）を ''ρ'' に取り換えたものは、''X'' の値が与えられたときの ''Y'' の{{仮リンク|最良線形不偏予測量|en|best linear unbiased prediction}}（best linear unbiased prediction）になっているという性質がある<ref name=wyattlms/>。
==結合分布の正規性==
===正規分布と独立性===
確率変数 <math>X</math> と <math>Y</math> が正規分布に従い、独立であるならば、これらの結合分布は結合正規分布である。つまり、対 <math>(X,Y)</math> は2変量正規分布に従う。しかしながら、多変量正規分布に従う確率変数ベクトルの相異なる2成分は独立であるとは限らない。それらが独立であるのは無相関（<math> \rho = 0</math>）の場合に限られる。
===正規分布に従う確率変数の対は、必ずしも2変量正規分布には従わない===
2個の確率変数 <math>X</math> と <math>Y</math> がいずれも正規分布に従っているとしても、それらの対 <math>(X,Y)</math> は必ずしも2変量正規分布には従わない。次のように簡単な例（反例）が構成できる。
* ''X'' は標準正規分布（平均 1、分散 0）に従う。
* ある定数 <math>c > 0</math> があって、<math>|X| > c</math> ならば <math>Y=X</math>、<math>|X| < c</math> ならば <math>Y=-X</math>
3変数以上の場合も同様に反例が構成できる。一般に、こうした確率変数の和によって{{仮リンク|混合モデル|en|mixture model}}が作られる。
===相関と独立性===
一般に、2個の確率変数が無相関であっても独立であるとは限らない。しかし、確率変数ベクトルが多変量正規分布に従っている場合、その2個以上の成分が互いに無相関であれば、それらは独立である。特に、これらが{{仮リンク|組ごとに独立|en|pairwise independence}}であれば、独立である。
しかしながら、すぐ上で指摘した例からわかるように、2個の確率変数が正規分布に従い、かつ無相関であるからといって、それらが独立であるとは限らない（''X'' と ''Y'' の相関係数が 0 となるよう定数 ''c'' を選べばよい）。
==周辺分布==
多変量正規分布に従う確率変数ベクトルから、その中のいくつかの成分を抜き出した確率変数の組が従う周辺分布を得るには、単に平均ベクトル、分散共分散行列から無関係な成分を除けばよい。これが成り立つことは、多変量正規分布の定義と線形代数によって証明できる<ref>周辺分布についての正式な証明は http://fourier.eng.hmc.edu/e161/lectures/gaussianprocess/node7.html 参照。</ref>。
===例===
{{nowrap|'''X''' {{=}} [''X''<sub>1</sub>, ''X''<sub>2</sub>, ''X''<sub>3</sub>]}} が多変量正規分布に従うとし、平均ベクトルを {{nowrap|'''μ''' {{=}} [''μ''<sub>1</sub>, ''μ''<sub>2</sub>, ''μ''<sub>3</sub>]}}、分散共分散行列を '''Σ''' とする。
このとき {{nowrap|'''X′''' {{=}} [''X''<sub>1</sub>, ''X''<sub>3</sub>]}} の周辺分布は再び多変量正規分布であり、その平均ベクトルは {{nowrap|'''μ′''' {{=}} [''μ''<sub>1</sub>, ''μ''<sub>3</sub>]}}、分散共分散行列は
:<math> \boldsymbol\Sigma' =
\begin{bmatrix}
\boldsymbol\Sigma_{11} & \boldsymbol\Sigma_{13} \\
\boldsymbol\Sigma_{31} & \boldsymbol\Sigma_{33}
\end{bmatrix}
</math>
である。
==アフィン変換==
<math>\mathbf{X}\ \sim \mathcal{N}(\boldsymbol\mu, \boldsymbol\Sigma)</math> で {{nowrap|'''Y''' {{=}} '''c''' + '''BX'''}} がその[[アフィン変換]]であるとき（'''c''' は <math>M \times 1</math> 定ベクトル、'''B''' は <math>M \times N</math> 定行列）、'''Y''' も多変量正規分布に従い、平均ベクトルは {{nowrap|'''c''' + '''Bμ'''}}、分散共分散行列は '''BΣB'''<sup>T</sup> である（つまり <math>\mathbf{Y} \sim \mathcal{N} \left(\mathbf{c} + \mathbf{B} \boldsymbol\mu, \mathbf{B} \boldsymbol\Sigma \mathbf{B}^{\rm T}\right)</math>）。
特に、成分 ''X<sub>i</sub>'' たちの任意の部分集合が従う周辺分布は再び多変量正規分布になる。例えば、部分集合 (''X''<sub>1</sub>, ''X''<sub>2</sub>, ''X''<sub>4</sub>)<sup>T</sup> を直接抜き出してくるには、行列
:<math>
\mathbf{B}
=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & \ldots & 0
\end{bmatrix}
</math>
を使えばよい。
別の系として、多変量正規分布に従う '''X''' と定ベクトル '''b''' の[[ドット積]]をとった {{nowrap|'''Z''' {{=}} '''b''' · '''X'''}} は、1変量正規分布に従う（<math>Z\sim\mathcal{N}\left(\mathbf{b}\cdot\boldsymbol\mu, \mathbf{b}^{\rm T}\boldsymbol\Sigma \mathbf{b}\right)</math>）。
:<math>
\mathbf{B}=\begin{bmatrix}
b_1 & b_2 & \ldots & b_n
\end{bmatrix} = \mathbf{b}^{\rm T}
</math>
と考えればよい。'''Σ''' の正定値性（半正定値性）から、ドット積をとった確率変数の分散は正（非負）になる。
'''X''' のアフィン変換 2'''X''' は、'''X''' と同一の分布に従う2個の独立な確率変数の和とは別物である。
==母数の推定==
確率密度関数が
:<math>f(\mathbf{x})= \frac{1}{\sqrt { (2\pi)^k|\boldsymbol \Sigma| } } \exp\left(-{1 \over 2} (\mathbf{x}-\boldsymbol\mu)^{\rm T} \boldsymbol\Sigma^{-1} ({\mathbf x}-\boldsymbol\mu)\right)</math>
である多変量正規分布に従う大きさ ''n'' の標本から、共分散行列を推定することを考える。この場合の[[最尤推定|最尤推定量]]は
:<math>\widehat{\boldsymbol\Sigma} = {1 \over n}\sum_{i=1}^n ({\mathbf x}_i-\overline{\mathbf x})({\mathbf x}_i-\overline{\mathbf x})^{\rm T}</math>
であり、これは単純に標本共分散行列を計算したものである。ただし[[偏り|不偏推定量]]ではなく、期待値は
:<math>E[\widehat{\boldsymbol\Sigma}] = \frac{n-1}{n} \boldsymbol\Sigma</math>
となる。よって
:<math>\widehat{\boldsymbol\Sigma} = {1 \over n-1}\sum_{i=1}^n (\mathbf{x}_i-\overline{\mathbf{x}})(\mathbf{x}_i-\overline{\mathbf{x}})^{\rm T}</math>
とすれば不偏推定量になる。多変量正規分布の母数の推定において、[[フィッシャー情報量|フィッシャー情報行列]]は閉じた式で書け、例えば[[クラメール・ラオの限界]]の算出に用いられる。詳細は[[フィッシャー情報量]]を参照。
==多変量正規分布からのサンプリング==
平均ベクトル '''μ'''、分散共分散行列 '''Σ''' の ''N'' 次元正規分布に従う乱数ベクトルを生成する方法として、以下に述べるような手法が広く用いられている<ref name=Gentle/>。
# {{nowrap|'''A''' '''A'''<sup>T</sup> {{=}} '''Σ'''}} となるような実行列 '''A''' をどれか1つ見つける。'''Σ''' が正定値の場合は[[コレスキー分解]]が典型的に用いられるが、（平方根演算を避けた）拡張法は '''Σ''' が半正定値であれば必ず通用し、いずれの方法でも適当な行列 '''A''' が得られる。別の方法として、'''Σ''' の[[スペクトル定理|スペクトル分解]] '''Σ''' = '''UΛU'''<sup>−1</sup> を用いて '''A''' = '''UΛ'''<sup>½</sup> としてもよい。前者は計算論的に率直な手法だが、分布の基となる確率変数の並べ替え（'''Σ''' の行・列交換）によって行列 '''A''' は異なったものに変化する。一方後者は、このような変換をしても '''A''' の成分が並べ直されるだけである。理論上はどちらの手法を使っても行列が同程度に良く求まるが、計算時間には違いが出る。
# {{nowrap|'''z''' {{=}} (''z''<sub>1</sub>, …, ''z<sub>N</sub>'')<sup>T</sup>}} を、標準正規分布に従う ''N'' 個の独立な確率変数から成るベクトルとする（このような乱数は例えば[[ボックス＝ミュラー法]]によって得られる）。
# '''x''' を {{nowrap|'''μ''' + '''Az'''}} とする。アフィン変換の性質より、このベクトルは所望の分布に従っている。
== 関連項目 ==
* {{仮リンク|カイ分布|en|Chi distribution}}：平均0の2変量正規分布に従う確率変数ベクトルの[[ノルム|ユークリッドノルム]]の値は、カイ分布に従う。
* [[コピュラ (統計学)]]
* {{仮リンク|多変量t分布|en|Multivariate t-distribution}}：この球面対称的な分布も、多変量解析で広く用いられる。
* {{仮リンク|多変量安定分布|en|Multivariate stable distribution}}：多変量正規分布を拡張したもので、特性関数における指数の肩が2次式ではなく 0 から 2 までの次数の式となり得る。
* [[ウィッシャート分布]]
* {{仮リンク|行列正規分布|en|Matrix normal distribution}}
== 脚注 ==
{{Reflist|refs=
<ref name=HT>{{cite journal
| last1 = Hamedani | first1 = G. G.
| last2 = Tata | first2 = M. N.
| year = 1975
| title = On the determination of the bivariate normal distribution from distributions of linear combinations of the variables
| journal = The American Mathematical Monthly
| volume = 82 | issue = 9 | pages = 913–915
| doi = 10.2307/2318494
| jstor = 2318494
}}</ref>
<ref name=wyattlms>{{cite web|last=Wyatt|first=John
| title=Linear least mean-squared error estimation
| url=http://web.mit.edu/6.041/www/LECTURE/lec22.pdf
| work=Lecture notes course on applied probability|accessdate=23 January 2012}}</ref>
<ref name=Gentle>{{cite book
| author = Gentle, J.E.
| title = Computational Statistics
| year = 2009
| publisher = Springer
| location = New York
| pages = 315–316
| doi = 10.1007/978-0-387-98144-4
| series = Statistics and Computing
| isbn = 978-0-387-98143-7
| url = http://cds.cern.ch/record/1639470
}}</ref>
}}
=== 参考文献 ===
{{refbegin}}
* {{cite book
| author = Rencher, A.C.
| title = Methods of Multivariate Analysis
| year = 1995
| publisher = Wiley
| location = New York
}}
* {{cite book |first=Y. L. |last=Tong |title=The multivariate normal distribution |year=1990 |isbn=978-1-4613-9657-4 |series=Springer Series in Statistics |location=New York |publisher=Springer-Verlag |doi=10.1007/978-1-4613-9655-0 |ref=harv }}
{{refend}}
{{確率分布の一覧}}
{{DEFAULTSORT:たへんりようせいきふんふ}}
[[Category:確率論]]
[[Category:統計学]]
[[Category:確率分布]]
[[Category:数学に関する記事]]
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