「ヒルベルト空間」の版間の差分
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m →定義: 「線型独立性」はその逆の概念「線型従属性」の誤りと思われるので、訂正。ただし、参照ページは同一。 |
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三つ目の性質は、突き詰めればより基本的な[[コーシー・シュヴァルツの不等式]]
:<math>|\langle x, y\rangle| \le \|x\|\,\|y\|</math>
（ただし等号成立は {{math|''x'', ''y''}} の[[線型独立性#線型従属|線型従属性]]と同値）からの帰結である。
このようにして定義される距離関数に関して、任意の内積空間は[[距離空間]]となる。内積空間のことを'''前ヒルベルト空間''' {{en|(pre-Hilbert space)}} と呼ぶこともある<ref>{{harvnb|Dieudonné|1960|loc=§6.2}}</ref>。距離空間として[[完備距離空間|完備]]であるような任意の前ヒルベルト空間は、ヒルベルト空間になる。完備性は、{{mvar|H}} 内の列に対する{{仮リンク|コーシーの判定法|en|Cauchy's convergence test}}の形で表すことができる。即ち、前ヒルベルト空間 {{mvar|H}} が完備となるのは、任意の[[コーシー列]]がノルムに関する意味で {{mvar|H}} 内の元に収束することである。完備性は、次のような条件
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