「パラメトリック方程式」の版間の差分
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== 2つのパラメトリック方程式から1つの方程式への変換 ==
パラメトリック方程式を1つの方程式に変換するとは、並列する方程式群 <math>x=x(t),\ y=y(t)</math> から媒介変数 <math>t</math> を取り除くことに他ならない。これらの方程式のうちの1つを <math>t</math> について解くことができれば、その式をもう一方の方程式に代入し、<math>x</math> と <math>y</math> だけから成る方程式が得られる。<math>x(t)</math> と <math>y(t)</math> が有理関数なら、''t''を取り除くのは容易である。パラメトリック方程式と等価な閉形式の1つの方程式が存在しない場合もある<ref>[http://xahlee.org/SpecialPlaneCurves_dir/CoordinateSystem_dir/coordinateSystem.html "Equation form and Parametric form conversion"]</ref>。
==常微分方程式におけるパラメトリック方程式の例==
以下に記述する連立常微分方程式は、求積法で解けた一般解を'''媒介変数表示'''で表現している例である。
媒介変数を三つ用いて、求積法により解かれている連立常微分方程式と、その一般解を以下に示す
<ref name="susemi-1988shw">長島 隆廣 『数学セミナー』第27巻、第3号、通巻316号、pp.98、1988年3月号、日本評論社。</ref>
<ref name="difequ-2005shwa">長島 隆廣『常微分方程式80余例とその厳密解』近代文藝社、2005年、ISBN 4-7733-7282-6、国立国会図書館蔵書、請求記号：MA117-H55（東京 本館書庫）。</ref>
<ref name="difequ-2005shwb">長島 隆廣『常微分方程式80余例とその厳密解』近代文藝社、2005年。</ref>
<ref name="difequ-2018shwc">長島 隆廣『常微分方程式80余例と求積法による解法』2018年12月 researchmap で公開、全編PDF： https://researchmap.jp/T_Nagashima または， https://researchmap.jp/muoht9dml-2225716/#_2225716</ref>
<ref name="difequ-1982shwd">長島 隆廣［常微分方程式134例とその解］丸善出版サービスセンター、1982年5月発行、
国立国会図書館(東京本館)・請求記号 MA117-111、全国書誌番号 82049441。</ref>
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連立常微分方程式<ref name="susemi-1988shw"/><ref name="difequ-2005shwa"/><ref name="difequ-2005shwb"/><ref name="difequ-2018shwc"/><ref name="difequ-1982shwd"/>
。
:::<math>\; F\left(y,\; \frac{dz}{dx}\right) = 0,</math> <!-- ok -->
:::<math>\; G\left(z,\; \frac{dw}{dx}\right) = 0,</math> <!-- ok -->
:::<math>\; H\left(w,\; \frac{dy}{dx} \cdot \left({\frac{dw}{dx}}\right)^{\!\!-1}\right) = 0.</math> <!-- ok -->
一般解を以下に示す<ref name="susemi-1988shw"/><ref name="difequ-2005shwa"/><ref name="difequ-2005shwb"/><ref name="difequ-2018shwc"/><ref name="difequ-1982shwd"/>
。
:::<math>\; x = \int \frac{1}{\psi(t)} \cdot \frac{d\lambda(r)}{dr}\,dr + C_3,</math>
:::<math>\; y = \phi(t),</math>
:::<math>\; z = \lambda(r),</math>
:::<math>\; w = \xi(s),</math>
:::<math>\; \phi(t) = \int \eta(s) \cdot \frac{d\xi(s)}{ds}\,ds + C_1,</math> <!-- ok -->
:::<math>\; \int \psi(t)\cdot \frac{d\xi(s)}{ds}\,ds = \int \nu(r) \cdot \frac{d\lambda(r)}{dr}\,dr + C_2,</math> <!-- ok -->
:::<math>\; F(\phi(t),\; \psi(t)) \equiv 0,</math> <!-- ok -->
:::<math>\; G(\lambda(r),\; \nu(r)) \equiv 0,</math> <!-- ok -->
:::<math>\; H(\xi(s),\; \eta(s)) \equiv 0.</math> <!-- ok -->
上式の ''r'' と ''s'' および ''t'' が'''媒介変数'''であり、''F'' と ''G'' および ''H'' は既知関数である。また、
''φ''(''t'') と ''ψ''(''t'') は、''F''(''φ''(''t''), ''ψ''(''t'')) ≡ 0 を満たす ''t'' の関数であり、
''λ''(''r'') と ''ν''(''r'') は、''G''(''λ''(''r''), ''ν''(''r'')) ≡ 0 を満たす ''r'' の関数であり、
''ξ''(''s'') と ''η''(''s'') は、''G''(''ξ''(''s''), ''η''(''s'')) ≡ 0 を満たす ''s'' の関数である。
なお、{{mvar|x}} が独立変数であり、{{mvar|y}} と {{mvar|z}} および {{mvar|w}} は {{mvar|x}} を変数とする関数である。
また、''C''<sub>1</sub> と ''C''<sub>2</sub> および ''C''<sub>3</sub> は積分定数である。
== 関連項目 ==
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