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1行目: [[画像:Elliptical-orbit.png\|thumb\|400px\|左記において説明している内容を図面に表した図です。]] '''楕円軌道'''（だえんきどう、{{lang-en\|elliptical orbit}}）とは、[[楕円逆二乗の法則]]に従う[[力 (物理学)\|力]]形の作用の下で、束縛された物体がとる[[軌道 (力学)\|軌道]]である。 == 概要 == ~~楕円は2定点 F{{sub\|1}}, F{{sub\|2}} からの距離の和が一定である点の集合。原点Oを中心とする楕円の方程式は:~~ [[万有引力の法則]]や[[クーロンの法則]]は逆二乗の法則で表される。このような力の作用の下で運動する物体がとる軌道は、力の中心を[[焦点 (幾何学)\|焦点]]とする[[2次曲線]]となる。2次曲線の軌道のうち、距離が有限にとどまる軌道、すなわち束縛軌道が楕円軌道である。 : <math>\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1</math> 。▼ [[天体太陽系]]において、[[惑星]]に作用する力は[[太陽]]からの万有引力が支配的であり、その周回[[軌道 ~~(力学)\|~~はほぼ楕円軌道]]となる。これは[[ケプラーの法則\|ケプラーの第1法則]]によとして知られている。また、惑星の周り~~一般に~~を周回する[[衛星]]の軌道もほぼ楕円軌道となる。[[人工衛星の軌道]]には、利用上の便宜から[[円軌道]]をとる場合もあるが、これは楕円軌道の特別な場合である。力の中心となる天体は二つある楕円の焦点（図の点F{{sub\|1}}）に位置しており、楕円の図形的中心（図の点O）に来るわけではない。楕円軌道にある[[人工衛星]]は地表からの高度が軌道上の位置によって変化する。[[地球]]に最も近づいた点を[[近地点]]（ペリジ、perigee）と呼び、地球から最も遠ざかった点を[[遠地点]]（アポジ、apogee）と呼ぶ。また惑星が太陽に最も近づく点は近日点、最も遠ざかる点は遠日点と呼ばれる。 == 軌道の表現 == ~~[[人工衛星の軌道]]の場合、利用上の便宜から[[円軌道]]をとる場合もあるが、これは楕円軌道の特別な場合となる。~~ {{See also\|軌道要素}} 2次曲線は焦点を原点とする[[極座標]] {{math\|(''r'', ''φ'')}} により : <math> er = \frac{~~\sqrt{a^2-b^2}~~L}{a1+e\cos\phi} </math>。▼ で表される。{{mvar\|e}} は[[離心率]]と呼ばれるパラメータで、2次曲線の概形を表す。離心率が {{math\|0 ≤ ''e'' < 1}} の範囲にあるとき、分母がゼロとならないため、焦点からの距離 {{mvar\|r}} が有限にとどまり楕円となる。 {{math\|1=''φ'' = 0}} のとき、近点距離楕円軌道にいる[[人工衛星]]は地表からの高度が軌道上の位置によって変化する。この場合、地球は[[焦点 (幾何学)\|楕円の焦点]]のひとつ（図の例では F{{sub\|1}}）に位置する。決して楕円の図形的中心 O にくるわけではない。 :<math>r_\text{min} =\frac{L}{1+e}</math> となり、{{math\|1=''φ'' = π}} のとき、遠点距離 :<math>r_\text{max} =\frac{L}{1-e}</math> となる。長半径は :<math>a =\frac{L}{1-e^2}</math> となる。 == 運動の解析 == ~~[[地球]]から最も遠ざかった点を[[遠地点]]（アポジ、apogee）、最も近づいた地点を[[近地点]]（ペリジ、perigee）という。~~ 逆二乗の法則に従う力は保存力であり、[[ポテンシャル]]は {{math\|1=''V'' = −''k''/''r''}} で与えられる。このポテンシャルの下での運動を記述する[[ハミルトン関数]]は :<math>\mathcal{H} =\frac{{p_r}^2}{2m} +\frac{{p_\phi}^2}{2mr^2} -\frac{k}{r}</math> である。この系は保存系であり、[[エネルギー]]が保存する。また、変数 {{mvar\|φ}} はハミルトン関数に含まれない[[循環座標]]であり、これに共役な[[角運動量]]も保存する。先にみたように、2次曲線は二つのパラメータ {{mvar\|L, e}} で表されるため、二つの保存量により運動が決定される。保存エネルギーを {{mvar\|E}}、保存角運動量を {{mvar\|J}} とすると ~~楕円の扁平の度合いを表すパラメータとして[[離心率]]<math>e</math> を次のように定義する。~~ ▲: <math>E =\frac{x{p_r}^2}{~~a^2~~2m} + \frac{yJ^2}{b2mr^2} ~~= 1~~-\frac{k}{r}</math> 。である。楕円軌道では有限の距離に束縛されているので {{math\|''E'' < 0}} である。 ~~<math>a</math> を楕円の長半径（長径の半分）、<math>b</math> を短半径（短径の半分）として~~ 長半径は ▲: <math> e = \frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a} </math>。 :<math>a =\frac{k}{-2E}</math> となる。 ~~図形的には、楕円の中心と焦点 F{{sub\|1}}, F{{sub\|2}} との距離 OF{{sub\|1}} = OF{{sub\|2}}は~~ また、[[周期]]は ~~ともに <math>ae</math> となる。~~ :<math>T =\frac{\pi k}{(-E)^{3/2}} \sqrt{\frac{m}{2}} =2\pi a^{3/2} \sqrt{\frac{m}{k}}</math> となる。周期の二乗が長半径の三乗に比例することはケプラーの第3法則として知られている。 ~~離心率の定義から明らかなように、円軌道は離心率が0である。~~ == 関連項目 == * [[軌道 (力学)\|軌道]] - [[円軌道]] * [[~~円軌道~~ケプラーの法則]] * [[人工衛星の軌道]] * [[ケプラーの法則]] ~~[[Category~~{{DEFAULTSORT:~~軌道\|~~たえんきとう]]}} [[Category:力学]] [[Category:天文学]] [[Category:軌道]]

「楕円軌道」の版間の差分