「エネルギー・運動量テンソル」の版間の差分

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'''エネルギー・運動量テンソル'''(エネルギー・うんどうりょうテンソル、stress-energy tensor (または stress-energy-momentum tensor) )tensor)とは、質量密度・エネルギー流束・運動量を表現する[[物理量]]であり、二階の[[テンソル]] <math>T^{\mu\nu}\,</math> として表現される。[[一般相対性理論]]における[[アインシュタイン方程式]]では、物質分布を示す右辺の項として登場し、[[重力]]を生じさせる源(source term)としての意味を持つ。アインシュタイン方程式で、[[真空]]状況を考える時は、 <math>T^{\mu\nu}=0\,</math> とすればよい。
 
エネルギー・運動量テンソル <math>T^{\mu\nu}\,</math> は、定義から明らかに対称テンソルである。
 
共変微分をもちいて
:<math>T^{\mu\nu}{}_{;\mu}=0\,</math>
とすれば、これは、共変形式のエネルギー・運動量保存則を表すことになる。
 
 
== 各成分の意味 ==
 
 
*時間-時間成分、即ち <math>T^{00}\,</math> は、エネルギー密度である。
 
== 完全流体近似のエネルギー・運動量テンソル ==
物質分布の平均自由行程近似できるならば、次ようスケール仮定するこ比べて短いき、流体近似可能る。さらに、
流体の静止系に乗ったときに、圧力が等方的であり(応力テンソルが対角的であり)、粘性のない場合、
完全流体として考えることができる。このとき、一般に次のように仮定することができる。
:<math> T^{\mu\nu} = (\rho + p) u^\mu u^\nu + g^{\mu\nu}p\,</math>
<math>\rho, p\,</math> は、静止系で観測したときの質量エネルギー密度と圧力であり、
<math>\rho, p, g^{\mu\nu}, u^\mu\,</math> は、それぞれ質量密度・圧力・計量テンソル・観測者流体の4元速度ベクトル(共動座標系ならば、<math>u^\mu=(1,0,0,0)\,</math>、流体速度を<math>v^i\,</math> と観測する場合には<math>u^\mu=(1,v^i)\,</math>)である。この仮定は、宇宙モデルを論じるときに通常用いられる。
 
非相対論的な場合、<math>g_{\mu\nu}\approx \eta_{\mu\nu}, \, |v^i| \ll 1, \, p\ll \rho\,</math>
となるから、行列形式で成分を書くと
:<math>T^{\mu\nu} = \begin{pmatrix}\rho &\rho v_x & \rho v_y &\rho v_z\\
\rho v_x&p+\rho v_x^2&\rho v_x v_y&\rho v_x v_z\\
\rho v_y&\rho v_x v_y&p+\rho v_y^2&\rho v_y v_z\\
\rho v_z&\rho v_x v_z&\rho v_y v_z&p+\rho v_z^2\end{pmatrix}</math>
となる。この空間成分は、古典的流体力学の応力テンソル
:<math>\pi^{ij} = \rho v^i v^j + p \delta^{ij}\,</math>
と一致する。
 
== 電磁場のエネルギー・運動量テンソル ==
電磁場のエネルギー・運動量テンソルは以下で定義される量である。
:<math>T^{\mu\nu} = \varepsilon_0frac{1}{4 c^2\pi} (F^{\mu\lambda} {F^{\nu}}_{\lambda} - \frac{1}{4}g^{\mu\nu} F^{\kappa\lambda} F_{\kappa\lambda}) </math>
 
<math>T^{00}\,</math> は[[エネルギー密度]]、<math>T^{0j}\,</math> 及び<math>T^{i0}\,</math> は[[ポインティング・ベクトル]]、<math>F^{ij}\,</math> は[[マクスウェルの応力テンソル]]である。
 
[[ミンコフスキー時空]]では、行列形式で成分を書くと
:<math>F^{\mu\nu} = \begin{pmatrix}0&E_x& E_y&E_z\\-E_x&0&B_z&-B_y\\-E_y&-B_z&0&B_x\\-E_z&B_y&-B_x&0\end{pmatrix}</math>
:<math>F_{\mu\nu} = \begin{pmatrix}0&-E_x&-E_y&-E_z\\E_x&0&B_z&-B_y\\E_y&-B_z&0&B_x\\E_z&B_y&-B_x&0\end{pmatrix}</math>
である。
 
== 関連語句 ==
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