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「振り子」の版間の差分

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|image3 = Pendulum 120deg.gif
|image4 = Pendulum 170deg.gif
|footer = 振幅が大きい場合の単振り子のアニメーション<br>''θ<sub>0</sub>''(=''a'')が増加するほど周期が長くなっている
}}
等時性の破れを主眼に置き、式の近似を用いない解法を考える。以下では
<math>\frac{d \theta }{/dt}= \dot{\theta}</math>と表記する。
 
角度の状態遷移を表す微分方程式が <math>ml \ddot{\theta} + mg \sin \theta = 0</math>であることは簡単に導出される。これにエネルギーを考慮するため、両辺に<math>l \dot{\theta}</math>をかけ、<math>t=0</math>において<math>\theta=\theta _0</math> 、<math>\dot{\theta}=0</math> であったとして<math>t</math>について<math>0</math>から<math>t</math>まで積分すると
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:<math>\dot \theta = \pm 2 \omega \sqrt{\sin^2(\theta_0 /2) - \sin^2(\theta / 2)}</math>．
 
このとき右辺に''t''が陽に現れていないため、''t''=0に<math>\theta=0</math>となるように時間シフトを行うことができる。
 
上式を用い<math>\theta = 0</math> から<math>\theta = \theta _0</math>となる時刻を計算すると
 
:<math>t=\frac{1}{2 \omega} \int _ {0} ^ {\theta _ 0} \frac{1d\theta}{\sqrt{\sin^2(\theta_0 /2) - \sin^2(\theta / 2)}} d\theta</math>．
 
この値の4倍にあたる4t4''t''が振り子の周期である。<math>\sin(\theta_0 /2)=a</math>、<math>\sin(\theta /2)=a \sin \phi</math>と置換すると結局周期は
 
:<math>T=\frac{4}{\omega} \int _ {0} ^ {\frac{\pi}{/2}} \frac{1d\phi}{\sqrt{1 - a^2 \sin^2 \phi}} d= \phifrac{4}{\omega} K(a)</math>．
 
上式の定積分ただし<math>K</math>は[[楕円積分#第一種完全楕円積分|第一種完全楕円積分]]であるため初等的に扱うこ。[[マクローリン展開]]すると周期''T''は困難であ次式となるので<ref name="工業力学_116" />。
 
:<math>\fracbegin{1align}{\sqrt{1 - a^2T&= \sin^frac{2 \phipi}{\omega} = \left[1 +\left( \frac{1}{2}a \right)^2 \sina^2\phi + \left( \frac{1}{2}\frac{3}{4}a^4 \sinright)^2 a^4 \phi+ \left( \frac{1}{2}\frac{3}{4}\frac{5}{6} \right)^2 a^6+ \sin^6dotsb \right] \phi+\cdots</math>，
:<math>T&= \frac{2 \pi}{\omega} \left[1+\left( \frac{1}{2} \right)^2 a\sin^2 \frac{\theta_0}{2} + \left( \frac{1}{2}\frac{3}{4} \right)^2 a\sin^4 \frac{\theta_0}{2} + \left( \frac{1}{2}\frac{3}{4}\frac{5}{6} \right)^2 a\sin^6 \frac{\theta_0}{2} + \cdotsdotsb \right]</math>． ▼
\end{align}</math>．
 
すなわち、重りを離す角度''θ''<sub>0</sub>が大きくなれば周期''T''は長くなる（等時性の破れ）。
と[[テイラー展開]]し各項を積分すると周期''T''は次式となる<ref name="工業力学_116"/>。
<math>a\lltheta_0 1\to 0</math>とすると、<math>T= \frac{2 \pi}{/\omega} </math>となり、<math>\sin \theta =\approx \theta</math>と近似した時の解と一致する。▼
 
▲:<math>T= \frac{2 \pi}{\omega} \left[1+\left( \frac{1}{2} \right)^2 a^2 + \left( \frac{1}{2}\frac{3}{4} \right)^2 a^4 + \left( \frac{1}{2}\frac{3}{4}\frac{5}{6} \right)^2 a^6+ \cdots \right]</math>．
 
''T''は明らかに''a''の、つまり''θ''<sub>0</sub>の関数であるため、等時性が破れている。式は''a''が大きくなるほど''T''が大きくなることを示している。よって、最初に重りを離す角度''θ''<sub>0</sub>を大きくするにつれ、周期も大きくなる。
▲<math>a\ll 1</math>とすると、<math>T= \frac{2 \pi}{\omega} </math>となり<math>\sin \theta = \theta</math>と近似した時と一致する。
 
== 物理振子 ==
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