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=== ピタゴラスの定理に依存しない三角関数を用いた証明 ===
{{math|Φ (''r'', θ) {{=}} z}} のとき {{math|(''r'',θ)}} を点 z の極座標といい、{{math|''r''}} は動径、{{math|θ}} は偏角である。
点 A の極座標を {{math|(''r'',α)}}、点 B の極座標を {{math|(''s'',β)}} とおく。
極座標の動径の定義より、OA=r、OB=sと書ける。
三角関数はべき級数によって定義されているものとする。余弦関数は {{math|0 < α - β < 2}} において[[単調写像|狭義単調減少関数]]であり、ある正の数を {{math|''x''}} として
:<math>\begin{align} AB^2 &= OA^2+OB^2-x\cos( \alpha - \beta ) \\
&= r^2+s^2-x\cos( \alpha - \beta )\end{align}</math>
とおく。
{{math|OA < OB}} とし、線分の長さ <math>\sqrt{2rs - x \cos(\alpha - \beta)}</math> は正の実数であるから
:<math>\begin{align} AB^2&=r^2+s^2-x\cos( \alpha - \beta )\\
&=(s-r)^2+\left(\sqrt{2rs - x \cos( \alpha - \beta )}\right)^2\end{align}</math>
である。上記式は仮定の式を満たしていることより成立する。
{{math|OB < OA}} とし、線分の長さ <math>\sqrt{2rs - x \cos(\alpha - \beta)}</math> は正の実数であるから
:<math>\begin{align} AB^2&=r^2+s^2-x\cos( \alpha - \beta )\\
&=(r-s)^2+\left(\sqrt{2rs - x \cos( \alpha - \beta )}\right)^2\end{align}</math>
である。上記式は仮定の式を満たしていることより成立する。
{{math|OA {{=}} OB}} とし、 線分の長さ <math>\sqrt{ \frac{2r^2-x\cos( \alpha - \beta )}{2} }</math> は正の実数であるから
:<math>\begin{align} AB^2 &=r^2+r^2-x\cos( \alpha - \beta ) \\
& =\left(\sqrt{ \frac{2r^2-x\cos( \alpha - \beta )}{2} }\right)^2 + \left(\sqrt{ \frac{2r^2-x\cos( \alpha - \beta )}{2} }\right)^2\end{align}</math>
である。上記式は仮定の式を満たしていることより成立する。
したがって、{{math|''x''}} は存在する。ここで {{math|OA {{=}} ''a'', OB {{=}} ''b'', AB {{=}} ''c'', ∠''C'' {{=}} α - β}} とすると、{{math|△ABC}} に対して
:<math>c^2=a^2+b^2-x\cos C</math>
が成立する。上記式と仮定の式より
:<math>\angle C = \frac{\pi}{2}</math>
が成立する。
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