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<math>\overrightarrow{OA},\ \overrightarrow{OB}</math> をそれぞれ <math>\boldsymbol{a},\ \boldsymbol{b}</math> と置くと、辺ABの中点がMなので、
<math>\overrightarrow{OM},\ \overrightarrow{AM}</math> はそれぞれ <math>\frac{1}{2} \left(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\right),\ \frac{1}{2} \left(\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a}\right)</math> となる。
したがって、
:<math>OM^2 = \frac{1}{4} \left \| \boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}\right \| ^2 = \frac{1}{4} \left( \left \| \boldsymbol{a} \right \| ^2 + 2 \left \langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \right \rangle + \left \| \boldsymbol{b}\right \| ^2\right),</math>
:<math>AM^2 = \frac{1}{4} \left \| \boldsymbol{b} - \boldsymbol{a}\right \| ^2 = \frac{1}{4} \left( \left \| \boldsymbol{a} \right \| ^2 - 2 \left \langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \right \rangle + \left \| \boldsymbol{b}\right \| ^2\right).</math>
これより、辺々を加えて2倍すると、
:<math>2\left(OM^2+AM^2\right)=\left \| \boldsymbol{a}\right \| ^2 + \left \| \boldsymbol{b}\right \| ^2= OA^2+OB^2.</math>
これを(1)とする。
ここで三角形OABにおいて、∠OMA = θ とすると、∠OMB = π - θである。つぎに
:<math>OA^2 = OM^2 + AM^2 - 2OM \cdot AM \cos\theta,</math>
:<math>OB^2 = OM^2 + BM^2 - 2OM \cdot BM \cos(\pi-\theta).</math>
とおく。
点Mは辺ABの中点だから、AM = BM が成り立つ。
また、<math>\cos(\pi-\theta) = - \cos\theta</math> が成り立つ。
よって
:<math>2\left(OM^2+AM^2\right)=OA^2+OB^2.</math>
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