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「ジョルダン標準形」の版間の差分

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== 特性多項式、最小多項式との関係 ==
行列<math>A</math>のジョルダン標準形<math>AJ=PJPP^{-1}AP</math>と、[[特性多項式]]<math>f_A(x)=\det(xI-A)</math>、[[最小多項式]]<math>\varphi_A(x)</math>には次のような関係がある。
 
なお、最小多項式とは<math>f(A)=O</math>となる多項式<math>f(x)</math>のうち、次数が最小で、最高次係数が1のものを言う。[[ケーリー・ハミルトンの定理]]により<math>f_A(A)=O</math>であり、<math>f_A(x)</math>は多項式として<math>\varphi_A(x)</math>で割り切れる。
 
（１）任意の多項式<math>ff_A(x)=\sum_{kdet(xI-A)=0}^nc_kx^k</math>について、<math>f\det(P^{)\det(xI-1}XPA)=\sum_{k=0}^nc_kdet(P^{-1}XP)^k=P\det(xI-PAP^{-1})=\sum_{kdet(xI-J)=0}^nX^kPf_J(x)</math>が言えるためより、次が言える。
:<math>f_A(Jx)=f_Af_J(P^{-1}APx)=P^{-1}f_A(A)P=O</math>
（２）任意の多項式<math>f(x)=\sum_{k=0}^nc_kx^k</math>について、<math>f(P^{-1}XP)=\sum_{k=0}^nc_k(P^{-1}XP)^k=P^{-1}\sum_{k=0}^nX^kP</math>が言えるため、次が言える。
:<math>\varphi_A(J)=\varphi_A(P^{-1}AP)=P^{-1}\varphi_A(A)P=O</math>
:<math>\varphi_J(A)=\varphi_J(PJP^{-1})=P\varphi_J(J)P^{-1}=O</math>
:最小多項式の最小次性より<math>\varphi_A(x)=\varphi_J(x)</math>
（３）最小特性多項式が<math>\varphi_Af_A(x)=\prod_{k=1}^m(x-\lambda_k)^{r_kn_k}</math>と因数分解(<math>\lambda_k</math>は相異なる)される場合、<math>\dim(A)=\sum_{k=1}^m n_k</math>であり、<math>J</math>の固有値対角線上には<math>\lambda_k</math>のジョルダン細胞の中で、次数が最大のものの次数は<math>r_kn_k</math>である個並ぶ。▼
 
（２）特性（４）最小多項式が<math>f_A\varphi_A(x)=\prod_{k=1}^m(x-\lambda_k)^{n_kr_k}</math>と因数分解(<math>\lambda_k</math>は相異なる)される場合、<math>dim(A)=\sum_{k=1}^m n_k</math>であり、<math>J</math>の対角線上には固有値<math>\lambda_k</math>のジョルダン細胞の中で、次数が最大のものの次数は<math>n_kr_k</math>個並ぶである。
 
▲（３）最小多項式が<math>\varphi_A(x)=\prod_{k=1}^m(x-\lambda_k)^{r_k}</math>と因数分解(<math>\lambda_k</math>は相異なる)される場合、<math>J</math>の固有値<math>\lambda_k</math>のジョルダン細胞の中で、次数が最大のものの次数は<math>r_k</math>である。
 
:例1 特性多項式が<math>(x-\lambda_1)(x-\lambda_2)</math>、最小多項式が<math>(x-\lambda_1)(x-\lambda_2)</math>の場合、<math>J=\begin{pmatrix}\lambda_1&0\\0&\lambda_2\\\end{pmatrix}</math>
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