「写像12相」の版間の差分
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関数の3つの条件と4つの同値関係は、{{math|1=3 × 4 = 12}}通りに組み合わせることができる。
関数の同値類を数え上げる12種の問題は、各々は同じ難易度ではなく、また、それらを解くための1つの体系的な方法は存在しない。12種の問題の内、2つの問題は自明（同値類の数は0または1）であり、5つの問題は''n''と''x''の乗法的な公式によって解が与えられる。残る5つの問題は組み合わせに関わりのある関数（[[スターリング数]]、[[自然数の分割]]など）によって解が与えられる。
== 観点 ==
写像12相における問題を考えるにあたり、いくつかの異なる観点からこれらを理解することができる。
==== ボールと箱 ====
伝統的に、写像12相での問題の多くは、関数を定義する代わりに、「ボールを箱にどのように入れるか」（またはいくつかの同様の視覚化）といった観点により定式化されてきた。[[集合]]（以下、集合は有限集合を指すものとする）''N''はボールを元とする集合として、集合''X''は箱を元とする集合として、それぞれ同一であるとみなすことができる。そのため、関数''ƒ'' : {{math|''N'' → ''X''}}は、ボールを箱に入れる、それぞれのボール''a''をそれぞれの箱''ƒ''(''a'')に入れる、といった形に表現できる。
==== サンプリング ====
==== ラベリング、取り出し、グルーピング ====
==== ラベリング、取り出し（一緒に取り出すか・取り出さないか）の反復 ====
==== 集合と自然数の分割 ====
== 公式 ==
{| class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align:center; border: none"
|+ 12種類の対象と数え上げの公式
|-
! ''f''-class
! Any ''f''
! Injective ''f''
! Surjective ''f''
|-
<!-- | {{mvar|f}}
| [[#case f|any function ''f'': ''N'' → ''X'' ]]
| [[#case i|injective function ''f'': ''N'' → ''X'']]
| [[#case s|surjective function ''f'': ''N'' → ''X'']]
| {{mvar|f}}
|- -->
| {{mvar|f}}
| [[#case f|''n''-sequence in ''X'' <br><math>x^n</math>]]<br>[[重複順列]]
| [[#case i|''n''-permutation of ''X'' <br><math>x^{\underline n}</math>]]<br>[[順列]]
| [[#case s|composition of ''N'' with ''x'' subsets <br><math>\textstyle x!\{{n\atop x}\}</math>]]
|-
| {{math|1=''f'' ∘ S<sub>''n''</sub>}}
| [[#case fn|''n''-multisubset of ''X'' <br><math>\binom{x+n-1}n</math>]]
| [[#case in|''n''-subset of ''X''<br><math>\binom xn</math>]]<br>[[組合せ]]
| [[#case sn|composition of ''n'' with ''x'' terms <br><math>\binom{n-1}{n-x}</math>]]
|-
| {{math|1=S<sub>''x''</sub> ∘ ''f''}}
| [[#case fx|partition of ''N'' into ≤ ''x'' subsets <br><math>\sum_{k=0}^x\left\{{n\atop k}\right\}</math>]]<br>[[ベル数]]
| [[#case ix|partition of ''N'' into ≤ ''x'' elements <br><math>[n\leq x]</math>]]<br>( 0 又は 1)
| [[#case sx|partition of ''N'' into ''x'' subsets <br><math>\left\{{n\atop x}\right\}</math>]]<br>[[スターリング数]]
|-
| {{math|1=S<sub>''x''</sub> ∘ ''f'' ∘ S<sub>''n''</sub>}}
| [[#case fnx|partition of ''n'' into ≤ ''x'' parts <br><math>p_x(n+x)</math>]]<br>[[自然数の分割]]
| [[#case inx|partition of ''n'' into ≤ ''x'' parts 1 <br><math>[n\leq x]</math>]]<br>( 0 又は 1)
| [[#case snx|partition of ''n'' into ''x'' parts <br><math>p_x(n)</math>]]<br>[[自然数の分割]]
|}
==== 行と列の直感的な理解 ====
== 一般化 ==
{{DEFAULTSORT:しやそうしゆうにそう}}
| |||