「圏 (数学)」の版間の差分

[[数学]]の一分野である[[圏論]]において中核的な概念を成す'''圏'''（けん、{{lang-en-short|''category''}}）は、[[数学的構造]]を取り扱うための枠組みであり、数学的対象をあらわす'''対象'''とそれらの間の関係を表す'''[[射 (圏論)|射]]'''の集まりによって与えられる。圏はそれ自体、[[群 (数学)|群]]に類似した[[代数的構造]]として理解することができる。

二つの圏が'''等しい'''（相等）とは、それらの対象の集まりが等しく、かつそれら対象の間の射の集まりが等しく、さらにそれら射の対の結合の仕方が相等となることを言う。圏論の目的に照らせば、圏がまったく相等しいことは非常に強すぎる条件であり（それよりも緩い{{仮リンク|圏同型|en|Isomorphism of categories}}でさえ強すぎる）、[[圏同値]]がしばしば考慮される（二つの圏が同値であるとは、大まかに言えば圏の相等において[[等式]]で与えられる関係を、それぞれの圏における同型で置き換えたものとして与えられる）。

圏論が初めて現れるのは [[サミュエル・アイレンバーグ|アイレンバーグ]]&ndash;[[ソーンダース・マックレーン|マックレーン]],"General Theory of Natural Equivalences"（「自然等価の同値に関する一般理論」）と題された論文 {{harvs|last1=Eilenberg|last2=Mac Lane|year= 1945}} である<ref>{{citation|first1=S. |last1=Eilenberg and |author1-link=サミュエル・アイレンバーグ|first2=S. |last2=Mac Lane "|author2-link=ソーンダース・マックレーン|title= General Theory of Natural Equivalences",|journal= Transactions of The American Mathematical Society 01/|month=sep.|year=1945; |volume=58(|issue=2):|pages=231-231. DOI: 294|doi=10.2307/1990284|ref=harv}}</ref>。古典的だが今もなお広く用いられる教科書として、マクレーンの ''{{仮リンク|Categories for the Working Mathematician|en|Categories for the Working Mathematician}}''{{efn|和訳: 三好博之訳『圏論の基礎』丸善出版}}がある。

** {{mvar|a}} から {{mvar|b}} への'''射の類''' (''hom-class''; ホム類) {{math|hom(''a'', ''b'')}} は {{mvar|a}} から {{mvar|b}} への射全体の成す類を言う。

:* 一般の圏を表すのに、しばしばラテン大文字の太字 {{math|'''C''', '''D''', …}} や、ラテン大文字のカリグラフ体 {{mvar|{{unicode|𝒞}}, {{unicode|𝒟}}, ℰ, …}} などが用いられる。特定の圏は、その対象を表す単語（の省略形）を用いて同様の仕方であらわす。例えば[[集合の圏]] {{math|'''Set''', ''{{unicode|𝒮ℯ𝓉}}''}} や[[体の圏]] {{math|'''Field''', ''ℱ{{unicode|𝒾ℯ𝓁𝒹}}''}}, [[位相空間の圏]] {{math|'''Top''', ''{{unicode|𝒯}}ℴ{{unicode|𝓅}}''}}, 束の圏 {{math|'''Bdl''', ''ℬ{{unicode|𝒹𝓁}}''}} のような具合である。

:* 圏 {{mvar|C}} の射の類 {{math|hom(''C'')}} は {{math|mor(''C'')}} や {{math|arr(''C'')}} などとも書く。同様に対象 {{math|''a'', ''b'' &isin; ob(''C'')}} に対する射の類も {{math|mor(''a'', ''b'')}} や {{math|arr(''a'', ''b'')}} などとも書かれる。どの圏で射を考えているか紛らわしいときには、{{math|hom{{sub|''C''}}(''a'', ''b'')}} や {{math|mor{{sub|''C''}}(''a'', ''b'')}} のように圏を明示することもできる。より簡便な記法では、圏 {{mvar|C}} の対象の類を {{math|{{abs|''C''}}}} で表し、射の類を[[記号の濫用]]だが {{mvar|C}} で表す（この場合 {{mvar|a}} から {{mvar|b}} への射の類は単に {{math|''C''(''a'', ''b'')}} と書く）。

:* 射の合成を {{math|''g'' ∘ ''f''}} で（あるいは単に併置 {{mvar|gf}} で）表すのは[[写像]]とその[[写像の合成|合成]]の慣習に合わせたものだが、文献によっては「図式順」で {{math|''f'';''g''}} や {{mvar|fg}} と書くものもある{{efn|この目的でz記法の太いセミコロン {{math|{{unicode|&#x2A1F;}}}} (U+2A1F) が用意されている}}。

: 圏 {{mvar|C}} が'''小さい''' (''small'') とは、対象の類 {{math|ob(''C'')}} および射の類 {{math|hom(''C'')}} がともに[[集合]]となる（つまり[[類 (数学)|真の類]]でない）ときに言い、さもなくば'''大きい''' (''large'') と言う。射の類が集合とならずとも、任意の二対象 {{math|''a'', ''b'' &isin; ob(''C'')}} をとるごとに、射の類 {{math|hom(''a'', ''b'')}} が集合となるならば（{{math|hom(''a'', ''b'')}} を'''射集合'''、ホム集合などと呼び）、その圏は'''局所的に小さい''' (''locally small'') と言う{{sfn|Awodey|2006|loc=Definition 1.12}}。集合の圏など数学における重要な圏の多くは、小さくないとしても、少なくとも局所的に小さい。

* {{仮リンク|コボルディズム|en|cobordism}}: {{仮リンク|ボルディズム|en|bordism}} の双対であるコボルディズムは圏と見なせる。

という対応 ''F'' で射の合成や恒等射を保つものは（'''共変''' (''covariant'')）'''関手''' ''F'' とよばれる。一方、似たような対応で射の定義域と余定義域とを入れ替え、合成の順番を反対にする対応は ''C'' から ''D'' への'''反変関手''' (''contravariant functor'') とよばれる。''C'' から ''D'' への反変関手を考えるということは ''C'' の双対圏 ''C''^op から ''D'' への共変関手を考えるということと同じになる。

'''自然変換''' (''natural transformation'') は 2 つの関手間の[[関係 (数学)|関係]]である。関手はしばしば「自然な構成」を記述し、そして自然変換はそのような 2 つの構成の間の「自然な準同型」を記述する。時に 2 つの全く違う構成が「同様の」結果をもたらすことがある。これは、2 つの関手間の'''自然同型''' (''natural isomorphism'') にて表現される。

2 つの関手 ''F'', ''G'' に対し、''F'' から ''G'' への自然変換が存在して η_''x'' が ''C'' に含まれる全ての対象 ''x'' に対して同型射となるとき、この自然変換は'''自然同型''' (''naturally isomorphic'') であるという。

圏が与えられているとき、そこからより複雑な'''高次圏'''を考えることができる。簡潔には、2 つの対象の間の射を「一方の対象からもう一方への対応関係」とみなすならば、これを高次圏において「高次の対応関係」を考慮することで、より有益な一般化が可能となる。

例えば、「二次元の圏」である'''{{ill2|双圏|en|bicategory}}'''（''bicategory'') もしくは {{ill2|2-圏|en|2-category}} (2-category){{efn|これら語法にはやや注意が必要である。通常双圏には定義に現れる等式的公理において、等号の代わりに同型に緩めた条件を課す。厳密に等式として成り立つものは「{{ill2|厳密2圏|label=厳密な 2-圏|en|strict 2-category}}」と言う。2-圏がどちらの意味であるかは文脈による。より高次の圏ではさらに状況が面倒である（どの等号を同型に緩めるかで定義の数は組合せ爆発する）。[http://d.hatena.ne.jp/m-hiyama/20080422/1208858789 ][http://d.hatena.ne.jp/m-hiyama/20180120/1516413899 ][http://d.hatena.ne.jp/m-hiyama/20180122/1516603015] などを参照。}} は「射の間の射」、つまり、ある射を別の射に変換する対応関係によって得られる圏である。これらの「2-射」(''2-cell'') は水平・垂直に「合成」することができ、かかる 2 つの[[合成則]]においては 2 次元の「[[交替法則|交換則]]」(''exchange law'') が成り立つ。この最も標準的な例は '''Cat'''、つまり全ての（小さな）圏から成る 2-圏であり、この例において、射には関手が、2-射には、関手の[[自然変換]]が当てはまる。もう 1 つの基本的な例としては、対象 1 つから成る 2-圏である。&mdash;これは(狭義)[[モノイド圏]]である。

この手法を任意の[[自然数]] ''n'' で拡張し、[[n-圏|''n''-圏]]（''n-category''、''n'' 次圏）を定義することができる。さらに[[順序数]] ω に対する ''ω範疇-category'' と呼ばれる高次圏もある。このアイデアに関する堅苦しくない入門文献として[http://math.ucr.edu/home/baez/week73.html ジョン・バエズ：「John Baez: The Tale of ''n」範疇の物語''-categories]が挙げられる。