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てけと
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[[数論]]における'''岩澤理論'''(いわさわりろん、<em lang="en">Iwasawa theory</em>)は、[[岩澤健吉]]が[[円分体]]の理論の一部として創始した、(無限次元拡大の)[[ガロア群]]の[[イデアル類群]]における[[表現論]]である。
:In number theory, '''Iwasawa theory''' is a Galois module theory of ideal class groups, initiated by Kenkichi Iwasawa as part of the theory of cyclotomic fields.
[[数論]]における'''岩澤理論'''(いわさわりろん、<em lang="en">Iwasawa theory</em>)は、[[岩澤健吉]]が[[円分体]]の理論の一部として創始した、(無限次元拡大の)[[ガロア群]]の[[イデアル類群]]における[[表現論]]である。
 
== '''Z'''<sub>''p''</sub>-拡大 ==
:Iwasawa's starting observation was that there are towers of fields in algebraic number theory, having Galois group isomorphic with the additive group of p-adic integers. That group, usually written &Gamma; in the theory and with multiplicative notation, can be found as a subgroup of Galois groups of infinite field extensions (which are by their nature pro-finite groups). The group &Gamma; itself is the inverse limit of the additive groups '''Z'''/''p<sup>n</sup>'''''Z''', where ''p'' is the fixed prime number and ''n'' = 1,2, ... . We can express this by Pontryagin duality in another way: &Gamma; is dual to the discrete group of all ''p''-power roots of unity in the complex numbers.
岩澤が端緒としたのは、代数的数論において '''Z'''<sub>''p''</sub> 拡大と呼ばれる、そのガロア群が[[p進数| ''p''-進整数環]]の加法群 '''Z'''<sub>''p''</sub> と同型となるような体の塔([[体の拡大|拡大]]列)の存在性である。このガロア群は理論中しばしば &Gamma; と書かれ、([[アーベル群]]ではあるが)乗法的に記される。このような群は、(そのガロア群が本質的に[[射有限群]]であるような)無限次元代数拡大のガロア群の部分群として得られる。この群 &Gamma; それ自身は、ある素数 ''p'' を固定したときの、加法群 '''Z'''/''p''<sup>''n''</sup>'''Z''' (''n'' = 1, 2, ...) たちが自然な射影によって成す逆系の[[射影極限|逆極限]]('''Z''' の射有限完備化)である。これはまた、[[ポントリャーギン双対]]を考えれば、任意の ''p'' の冪に対する 1 の冪根全体が成す[[円周群]]の離散部分群の双対として得られるコンパクト群が &Gamma; であるとも述べられる。
 
== 円分拡大の数論 ==
:A first and important example is in terms of the field K = '''Q'''(&zeta;) with &zeta; a primitive ''p''-th root of unity. If K<sub>''n''</sub> is the field generated by a primitive ''p''<sup>''n''+1</sup>-th root of unity, then the tower of fields K<sub>''n''</sub> (inside '''C''') has a union L. Then the Galois group of L over K is isomorphic with &Gamma;, because the Galois group of K<sub>''n''</sub> over K is '''Z'''/''p<sup>n</sup>'''''Z'''.
最初の重要な例は、[[1の冪根|1 の原始 ''p'' 乗根]] &zeta; を添加する拡大 ''K'' = '''Q'''(&zeta;) である。''K''<sub>''n''</sub> を 1 の原始 ''p''<sup>''n''+1</sup>乗根の生成する ''K'' の(したがってとくに '''C''' 内の)部分体として、体の塔 ''K''<sub>''n''</sub> (''n'' = 1, 2, ...) の和集合(合成体)を ''L'' と置く。このとき、体の拡大 ''L''/''K'' のガロア群は &Gamma; に同型である。これは、拡大 ''K''<sub>''n''</sub>/''K'' のガロア群が '''Z'''/''p''<sup>''n''</sup>'''Z''' であることによる。
 
:In order to get an interesting Galois module here, Iwasawa took the ideal class group of K<sub>''n''</sub>, and let I<sub>''n''</sub> be its ''p''-torsion part. There are norm mappings
 
::I<sub>''m''</sub> &rarr; I<sub>''n''</sub>
 
:when ''m'' > ''n'', and so an inverse system. Letting I be the inverse limit, we can say that &Gamma; acts on I, and it is desirable to have a description of this action.
ここから、ガロア群 &Gamma; 上の興味深い加群を取り出すことができる。岩澤は ''K''<sub>''n''</sub> のイデアル類群と、その[[シローの定理|シロー ''p'' 部分群]] ''I''<sub>''n''</sub> (''p''-部分)を考えた。このとき[[ノルム (体論)|ノルム写像]]
: ''I''<sub>''m''</sub> &rarr; ''I''<sub>''n''</sub>
という形に表すことができる。
 
:The motivation here was undoubtedly that the ''p''-torsion in the ideal class group of K had already been identified by Kummer as the main obstruction to the direct proof of Fermat's last theorem. Iwasawa's originality was to go 'off to infinity' in a novel direction.
ここでの動機というのは、''K'' のイデアル類群の ''p'' 部分こそが[[フェルマーの最終定理]]の直接証明における主要な障害となっている、ということが[[エルンスト・クンマー|クンマー]]によって既に特定されていたということによるものである。岩澤の独自性は、「無限大に飛ばす」という新しい着想にあった。
 
事実として、''I'' は[[群環]] '''Z'''<sub>''p''</sub>[&Gamma;] 上の加群であり、またこの群環は二次の[[正則局所環]]と呼ばれる(その上の加群のそれほど粗くない分類が非常に容易であるという意味で)素性の良い環である。
:In fact I is a module over the group ring '''Z'''<sub>''p''</sub>[&Gamma;]. This is a well-behaved ring ([[Regular local ring|regular]] and two-dimensional), meaning that it is quite possible to classify modules over it, in a way that is not too coarse.
事実として、''I'' は群環 '''Z'''<sub>''p''</sub>[&Gamma;] 上の加群であり、またこの群環は二次の[[正則局所環]]と呼ばれる(その上の加群のそれほど粗くない分類が非常に容易であるという意味で)素性の良い環である。
 
== 岩澤主予想 ==
: From this beginning, in the 1950s, a substantial theory has been built up. A fundamental connection was noticed between the module theory, and the p-adic L-functions that were defined in the 1960s by Kubota and Leopoldt. The latter begin from the Bernoulli numbers, and use interpolation to define p-adic analogues of the Dirichlet L-functions. It became clear that the theory had prospects of moving ahead finally from Kummer's century-old results on regular primes.
草創期の1950年代から理論の構築は絶えず続けられ、この加群の理論と[[久保田富雄|久保田]]やレオポルド (Leopoldt) が1960年代に考案した[[p進L関数| ''p''-進 L 関数]]の理論の間の基本的考察が提示された。''p'' 進 L 関数は、ベルヌイ数から始めて補間法を用いて定義される、ディリクレの L 関数の ''p''-進の類似物である。最終的に、クンマーによる[[正則素数]]に関する結果から世紀を隔てて、フェルマーの最終定理の前進する見通しが立ったことが明らかとなった。
 
:The '''main conjecture of Iwasawa theory''' was formulated as an assertion that two methods of defining p-adic L-functions (by module theory, by interpolation) should coincide, as far as that was well-defined. This was eventually proved by Barry Mazur and Andrew Wiles for '''Q''', and for all totally real number fields by Andrew Wiles.
'''岩澤主予想'''は、(加群の理論と補間法の)二種類の方法で定義される ''p''-進 L 関数は(それが定義可能な限りは)一致するはずであるという形で定式化された。この予想は結果としては、[[バリー・メイザー]] (Barry Mazur) と[[アンドリュー・ワイルズ]]によって[[有理数|有理数体]] '''Q''' の場合に、またやはりアンドリューワイルズによって任意の[[総実数体]]の場合に証明された。
 
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