「オイラーの公式」の版間の差分

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[[Image:Euler's formula.svg|thumb|right|オイラーの公式の図形的な表現。グラフは横軸が実数軸、縦軸が虚数軸の複素平面であり、{{mvar|&phi;φ}} は複素数 {{math|''e<{{sup>i&phi;</sup>|iφ}}''}} の偏角である。]]
[[数学]]、特に[[複素解析]]における'''オイラーの公式'''(オイラーのこうしき、{{lang-en-short|Euler's formula}})は、[[複素指数数]]と[[三角関数]]の間に成り立つ以下の関係をいう。
:<math>e^{i\theta} =\cos\theta +i\sin\theta.</math>
ここで {{math|''e''<{{sup>|'''&middot;'''</sup>}}}} は指数関数、{{mvar|i}} は[[虚数単位]]、{{math|cos '''&middot;''', sin '''&middot;'''}} はそれぞれ余弦関数および正弦関数である<ref group="注">指数関数 {{math|''e''<{{sup>|'''&middot;'''</sup>}}}} は[[冪乗|累乗]]を拡張したもので、複素数 {{math|''x'', ''y''}} について {{math|''e''<{{sup>|''x''</sup>&thinsp;&times;&thinsp;}} × e<{{sup>|''y''</sup>}} {{=}} e<{{sup>|''x''+''y''</sup>}}}} という関係が成り立つ。{{math|''e'' {{=}} ''e''<{{sup>|1</sup>}} {{=}} 2.718281828...718281828…}} は'''自然対数の底'''あるいは'''[[ネイピア数]]'''と呼ばれる。<br />虚数単位 {{mvar|i}} は {{math|''i''<{{sup>|2</sup>}} {{=}} ''i''&thinsp;&times;&thinsp; × ''i'' {{=}} &minus;1}} を満たす複素数である。<br />余弦関数 {{math|cos&thinsp;'''&middot;'''}} および正弦関数 {{math|sin&thinsp;'''&middot;'''}} は三角関数の一種である。正弦関数 {{math|sin&thinsp; ''&theta;θ''}} は、[[直角三角形]]の[[斜辺]]とその三角形の変数 {{mvar|&theta;θ}} に対応する角度を持つ[[鋭角]]の[[対辺]](正弦)の長さの比を表す。余弦関数 {{math|cos&thinsp; ''&theta;θ''}} はもう一方の鋭角(余角)の対辺と斜辺の長さの比を表す。単位円(半径の長さを 1 とする円)の中心を原点とする直交座標系をとったとき、単位円上の点を表す {{math|''x'', ''y''}} 座標はそれぞれ {{math|cos&thinsp;''&theta;θ''}}, {{math|sin&thinsp;''&theta;θ'''}} に等しい({{mvar|&theta;θ}} は円の中心と円周上の点を結ぶ直線と、{{mvar|x}} 軸のなす角の大きさに対応する)。<br />文献によっては、指数関数は、{{en|<u>exp</u>onent}}(指数)から3字取って {{math|exp&thinsp; ''x'' ({{=}} ''e''<{{sup>|''x''</sup>}})}} と表される。また虚数単位には {{mvar|i}} でなく {{mvar|j}} を用いることがある。</ref>。任意の[[複素数]] {{mvar|&theta;θ}} に対して成り立つ等式であるが、特に {{mvar|&theta;θ}} が実数である場合が重要でありよく使われる。{{mvar|&theta;θ}} が[[実数]]のとき、{{mvar|&theta;θ}} は[[複素数]] {{math|''e''<{{sup>|''i&theta;''</sup>}}}} がなす[[複素平面]]上の[[複素数#極形式|偏角]](角度 {{mvar|&theta;θ}} の単位は[[ラジアン]])に対応する。
 
公式の名前は18世紀の数学者[[レオンハルト・オイラー]] ([[:en:Leonhard Euler|Leonhard Euler]]) に因むが、最初の発見者は[[ロジャー・コーツ]] ([[:en:Roger Cotes|Roger Cotes]]) とされる。コーツは[[1714年]]に
 
:<math> \log\left(\cos x + i\sin x \right)=ix \ </math>
を発見した<ref name="Stillwell">{{citeCite book |author=John Stillwell |title=Mathematics and Its History |publisher=Springer |year=2002 | url = http://books.google.com/books?id=V7mxZqjs5yUC&pg=PA315}}</ref>が、三角関数の周期性による対数関数の[[多価性]]を見逃した。
 
を発見した<ref name="Stillwell">{{cite book|author=John Stillwell|title=Mathematics and Its History|publisher=Springer|year=2002 | url = http://books.google.com/books?id=V7mxZqjs5yUC&pg=PA315}}</ref>が、三角関数の周期性による対数関数の[[多価性]]を見逃した。
 
1740年頃オイラーはこの対数関数の形での公式から現在オイラーの公式の名で呼ばれる指数関数での形に注意を向けた。指数関数と三角関数の級数展開を比較することによる証明が得られ出版されたのは1748年のことだった<ref name="Stillwell"/>。
{{sfn|ファインマン|1977|pp=294, 307}}{{sfn|吉田|2010}}だと述べている。
 
オイラーの公式は、[[変数 (数学)|変数]] {{mvar|&theta;θ}} が実数である場合には、右辺は実空間上で定義される通常の三角関数で表され、[[虚数]]の指数関数の実部と虚部がそれぞれ角度 {{mvar|&theta;θ}} に対応する余弦関数 {{math|cos}} と正弦関数 {{math|sin}} に等しいことを表す。このとき、偏角 {{mvar|&theta;θ}} を[[媒介変数|パラメータ]]とする[[曲線]] {{math|''e''<{{sup>|''i&theta;''</sup>}}}} は、複素平面上の[[単位円]]をなす。
特に、{{math|''&theta;θ'' {{=}} {{π}}}} のとき(すなわち偏角が 180 度のとき)、
:<math>e^{i\pi}=-1</math>
となる。この関係は'''[[オイラーの等式]]''' {{en|(Euler's identity)}} と呼ばれる<ref group="注">三角関数の周期性(従って複素指数関数の周期性)により、オイラーの等式が成り立つのは {{math|''&theta;θ'' {{=}} {{π}}}} に限らない。すなわち、任意の整数 {{mvar|z}} について {{math|''&theta;θ'' {{=}} {{π}} + 2{{π}}''z'' {{=}} 2{{π}}(''z'' + {{sfrac|1|2}})}} は {{math|''e''<{{sup>|''i&theta;''</sup>}} {{=}} &minus;1}} を満たす。</ref>。
 
{{mvar|&theta;θ}} が純虚数である場合には、左辺は実空間上で定義される通常の指数関数であり、右辺は純虚数に対する三角関数となる。
 
オイラーの公式は、三角関数 {{math|cos&thinsp; ''&theta;θ''}}, {{math|sin&thinsp; ''&theta;θ''}} が[[双曲線関数]] {{math|cosh(''i&theta;''), sinh(''i&theta;'')/''i''}} に対応することを導く。また応用上は、オイラーの公式を経由して三角関数を複素指数関数に置き換えることで、[[微分方程式]]や[[フーリエ級数]]などを利用しやすくする。
 
== 指数関数と三角関数 ==
実関数として定義される[[指数関数]] {{math|''e''<{{sup>|''x''</sup>}}}} および[[三角関数]] {{math|cos&thinsp; ''x''}}, {{math|sin&thinsp; ''x''}} を各々[[マクローリン展開]]すれば<ref group="注">{{math|''x'' {{=}} 0}} の周りの[[テイラー展開]]をマクローリン展開 {{en|(Maclaurin expansion)}} と呼ぶ。また一般に関数を[[冪級数]]として表すことを冪級数展開と呼ぶ。</ref>
{{numBlk|:|<math>e^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!}\quad\mbox{ for all }x</math>|{{equationRef|Macl1|1}}}}
{{numBlk|:|<math>\cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} \, x^{2n}\quad\mbox{ for all } x</math>|{{equationRef|Macl2|2}}}}
{{numBlk|:|<math>\sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \, x^{2n+1}\quad\mbox{ for all } x</math>|{{equationRef|Macl3|3}}}}
:<math>\scriptstyle r=\lim_{n \to \infty}\left |\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right|</math>
が存在すれば、{{math|''R'' {{=}} ''r''}} である。(極限が存在しない場合、収束半径はこの方法では求まらない。)
{{math|''e''<{{sup>|''x''</sup>}}}} の収束半径は
:<math>\begin{align}\scriptstyle
\lim_{n \to \infty}\left|\frac{1/n!}{1/(n+1)!} \right|
&\scriptstyle = \infty
\end{align}</math>
となる。{{math|cos ''x''}} の収束半径を求めるには、{{math|''y'' {{=}} ''x''<{{sup>|2</sup>}}}} についての級数と考えて、その収束半径を求めればよい。
:<math>\begin{align} \scriptstyle
\lim_{n \to \infty}\left|\frac{(-1)^n/(2n)!}{(-1)^{n+1}/\{2(n+1)\}!} \right|
&\scriptstyle =\infty
\end{align}</math>
であるので、任意の {{mvar|y}} で収束し、{{math|''y'' {{=}} ''x''<{{sup>|2</sup>}}}} を代入した級数も任意の {{mvar|x}} で収束し、それに {{mvar|x}} をかけた級数(すなわち {{math|sin&thinsp;''x''}} のマクローリン展開)も任意の {{mvar|x}} で収束する。
 
以上で {{equationNote|Macl1|(1)}}, {{equationNote|Macl2|(2)}}, {{equationNote|Macl3|(3)}} の右辺の収束半径が {{math|∞}} であることが証明された。</ref>。従ってこれらの級数は、{{mvar|x}} を複素変数と見て全複素平面上広義一様に[[絶対収束]]し、これらの級数によって表される関数は[[整関数]]である<ref group="注">全平面上正則な関数を整関数と言う。なおこれらは多項式でないので超越整関数であり、[[無限遠点]]を[[真性特異点]]に持つ</ref>。これら級数の収束性と[[正則関数]]に関する[[一致の定理]]により、[[解析接続|正則関数としての拡張]]は全平面でこの収束[[冪級数]]によって確定されるため、複素関数としての指数関数および、三角関数は通常、この級数展開式をもって定義される。
 
ここで、 {{math|''e''<{{sup>|''x''</sup>}}}} の {{mvar|x}} を {{mvar|ix}} に置き換え、{{math|''e''<{{sup>|''ix''</sup>}}}} の冪級数が絶対収束するために級数の項の順序を任意に交換可能である事を考慮すれば
:<math>\begin{align}
e^{ix}
 
この公式は、歴史的には全く起源の異なる指数関数と三角関数が、[[複素数]]の世界では密接に結びついていることを表している。
たとえば、三角関数の[[三角関数#加法定理|加法定理]]は、指数法則 {{math|''e''<{{sup>|''a''</sup>}}''e''<{{sup>|''b''</sup>}} {{=}} ''e''<{{sup>|''a'' + ''b''</sup>}}}} に対応していることが分かる<ref name="複素関数を学ぶ人のために" /><ref group="注">{{math|''e''<{{sup>|''a'' + ''b''</sup>}}}} を冪級数で表し、各項を[[二項定理|二項展開]]し、展開した項を改めて整理すれば、指数法則 {{math|''e''<{{sup>|''a'' + ''b''</sup>}} {{=}} ''e''<{{sup>|''a''</sup>}}''e''<{{sup>|''b''</sup>}}}} を導出できる。
:<math>\begin{align}\scriptstyle
e^{a+b}
となる。{{equationNote|D2|(2)}} を {{equationNote|D1|(1)}} に代入すると次のようになる。
{{numBlk|:|<math>(\cos x-i\sin x)\cdot e^{ix} =1.</math>|{{equationRef|D3|3}}}}
ここで {{equationNote|D3|(3)}} の両辺に、{{math|(cos&thinsp;''x'' - ''i''&thinsp;sin&thinsp;''x'')}} の[[複素共役]] {{math|(cos&thinsp;''x'' + ''i''&thinsp;sin&thinsp;''x'')}} を掛ければ、三角関数に関するピタゴラスの定理 {{math|sin<{{sup>|2</sup>}}''x'' + cos<{{sup>|2</sup>}}''x'' {{=}} 1}} よりオイラーの公式が得られる<ref name="複素数の取り扱い" />。
:<math>e^{ix} =\cos x+i\sin x.</math>
|drop=no}}{{math proof|
{{equationNote|D5|(5)}} を {{equationNote|D4|(4)}} に代入すると
:<math>(\cos x+i\sin x)\cdot e^{-ix} =1</math>
が導出される。この両辺に {{math|''e''<{{sup>|''ix''</sup>}}}} を掛け、任意の複素数 ''a'', ''b'' に対して成り立つ指数法則 {{math|''e''<{{sup>|''a''</sup>}}''e''<{{sup>|''b''</sup>}} {{=}} ''e''<{{sup>|''a'' + ''b''</sup>}}}} を利用すれば<ref name="複素関数を学ぶ人のために"/>
:<math>\begin{align}
e^{ix}
{{equationNote|DE3|(3)}} と {{equationNote|DE1|(1)}} より
{{numBlk|:|<math>\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =iy</math>|{{equationRef|DE4|4}}}}
を得る<ref group="注">{{math|''i''<{{sup>|2</sup>}} {{=}} &minus;1}} より {{math|''i'' {{=}} &minus;{{sfrac|1|''i''}}}} であることを利用した。</ref>。任意の 0 でない複素数 {{mvar|&alpha;}} について、関数 {{math|''e''<{{sup>|''&alpha;x''</sup>}}}} は次の関係を満たす。
{{numBlk|:|<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm{d}(\alpha x)}e^{\alpha x} = e^{\alpha x}.</math>|{{equationRef|DE5|5}}}}
{{equationNote|DE4|(4)}} と {{equationNote|DE5|(5)}} を見比べ、{{math|''&alpha;'' {{=}} ''i''}} と置き換えれば、''f''(0) = 1 より
i = C_2
\end{align}</math>|{{equationRef|2DE5|5}}}}
となるので<ref group="注">{{math|''e''<{{sup>|0</sup>}} {{=}} 1}} および {{math|sin&thinsp;0 {{=}} 0, cos&thinsp;0 {{=}} 1}} を利用した。</ref>、{{equationNote|2DE5|(5)}} より {{equationNote|2DE3|(3)}} の線型結合はオイラーの公式を与える<ref name="kwansei-univ-euler" />。
:<math>e^{ix} = \cos x + i\sin x.</math>
|drop=no}}
ie^{ix} & -\sin x+i\cos x
\end{vmatrix}=e^{ix}(-\sin x + i\cos x) - e^{ix}(i\cos x - \sin x)=0</math>
として {{math|cos&thinsp;''x'' + ''i''&thinsp;sin&thinsp;''x''}} と {{math|''e''<{{sup>|''ix''</sup>}}}} が線型従属であることを確認する。
ここで、ある定数 {{mvar|C}} について
:<math>e^{ix} = C(\cos x + i\sin x)</math>
&= 1+na_{n}+\binom{n}{2}a_{n}^2+ \dotsb
\end{align}</math>
であるから、{{mvar|a<{{sub>|n</sub>}}}} が小さいとき、{{mvar|n}} 乗すると誤差はおよそ {{mvar|n}} 倍されるが、{{mvar|a<{{sub>|n</sub>}}}} が {{math|{{sfrac|1|n}}}} よりも早く {{math|0}} に近づくときには、極限に影響しない。
本議論において
:<math>\begin{align}
<ref name="野海正俊">[http://www.sci.kobe-u.ac.jp/old/seminar/pdf/noumi2007.pdf オイラーの数学から — 『無限解析序説』への招待 - 野海 正俊]</ref>
<ref name="複素数の取り扱い">[http://www.kutl.kyushu-u.ac.jp/~member/noro/KikanButsuri_IA/4_keiji.pdf 複素数の取り扱いとオイラーの公式]</ref>
<ref name="kwansei-univ-euler">[http://sci-tech.ksc.kwansei.ac.jp/~shimeno/math/euler/euler.pdf {{math|e<{{sup>|π''i''</sup>}} + 1 {{=}} 0}}]</ref>
<ref name="複素関数を学ぶ人のために">[http://collie.low-temp.sci.yamaguchi-u.ac.jp/~ashida/work/comp.pdf 複素関数を学ぶ人のために - 山口大学 理学部 物理・情報科学科 - 芦田 正巳]</ref>
}}
{{commonscat|Euler's formula}}
*{{Cite book|和書
|firstauthor = [[リチャード P.・ファインマン]]
|last=ファインマン
|author = リチャード P.ファインマン
|authorlink = リチャード・ファインマン
|coauthor = レイトン、サンズ
|translator = 坪井忠二
}}
* {{Cite book|和書
|lastauthor = 吉田
|title = オイラーの贈物—人類の至宝 {{math|e<{{sup>|''i''&pi;</sup>}} {{=}} &minus;1}} を学ぶ
|first = 武
|title = オイラーの贈物—人類の至宝 {{math|e<sup>''i''&pi;</sup> {{=}} &minus;1}} を学ぶ
|edition = 新装版
|year = 2010
}}
*{{Cite book|和書
|firstauthor = 小笠英志
|last=小笠
|author = 小笠英志
|year = 2011
|title = 相対性理論の式を導いてみよう、そして、人に話そう
|publisher = ベレ出版
|pages = pp.165-171
|isbn = 978-486064-267-9
}}
* {{Cite book|和書
|last = 藤田
|first = 宏
|author = 藤田宏
|title = 応用数学 (放送大学教材)
|last = Dunham
|first = William
|author = William Dunham
|title = Euler: The Master of Us All
|url = http://paginas.fisica.uson.mx/horacio.munguia/Personal/Documentos/Libros/Euler%20The_Master%20of%20Us.pdf<!--これは著作権的に問題ないものですか?-->
}}
* {{Cite book|和書
|last = 杉浦
|first = 光夫
|author = 杉浦光夫
|title = 解析入門I
}}
* {{Cite book|和書
|last = 田村
|first = 二郎
|author = 田村二郎
|title = 解析関数(新版)
{{複素数}}
{{DEFAULTSORT:おいらあのこうしき}}
[[Category:複素数]]
[[Category:複素解析の定理]]
[[Category:ネイピア数]]
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