「オイラーの公式」の版間の差分
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[[Image:Euler's formula.svg|thumb|right|オイラーの公式の図形的な表現。グラフは横軸が実数軸、縦軸が虚数軸の複素平面であり、{{mvar|
[[数学]]、特に[[複素解析]]における'''オイラーの公式'''（オイラーのこうしき、{{lang-en-short|Euler's formula}}）は、[[複素指数
:<math>e^{i\theta} =\cos\theta +i\sin\theta
ここで {{math|''e''
公式の名前は18世紀の数学者[[レオンハルト・オイラー]] ([[:en:Leonhard Euler|Leonhard Euler]]) に因むが、最初の発見者は[[ロジャー・コーツ]] ([[:en:Roger Cotes|Roger Cotes]]) とされる。コーツは[[1714年]]に
:<math> \log\left(\cos x + i\sin x \right)=ix \ </math>
を発見した<ref name="Stillwell">{{
▲を発見した<ref name="Stillwell">{{cite book|author=John Stillwell|title=Mathematics and Its History|publisher=Springer|year=2002 | url = http://books.google.com/books?id=V7mxZqjs5yUC&pg=PA315}}</ref>が、三角関数の周期性による対数関数の[[多価性]]を見逃した。
1740年頃オイラーはこの対数関数の形での公式から現在オイラーの公式の名で呼ばれる指数関数での形に注意を向けた。指数関数と三角関数の級数展開を比較することによる証明が得られ出版されたのは1748年のことだった<ref name="Stillwell"/>。
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{{sfn|ファインマン|1977|pp=294, 307}}{{sfn|吉田|2010}}だと述べている。
オイラーの公式は、[[変数 (数学)|変数]] {{mvar|
特に、{{math|''
:<math>e^{i\pi}=-1</math>
となる。この関係は'''[[オイラーの等式]]''' {{en|(Euler's identity)}} と呼ばれる<ref group="注">三角関数の周期性（従って複素指数関数の周期性）により、オイラーの等式が成り立つのは {{math|''
{{mvar|
オイラーの公式は、三角関数 {{math|cos
== 指数関数と三角関数 ==
実関数として定義される[[指数関数]] {{math|''e''
{{numBlk|:|<math>e^
{{numBlk|:|<math>\cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} \, x^{2n}\quad\mbox{ for all } x</math>|{{equationRef|Macl2|2}}}}
{{numBlk|:|<math>\sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} \, x^{2n+1}\quad\mbox{ for all } x</math>|{{equationRef|Macl3|3}}}}
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:<math>\scriptstyle r=\lim_{n \to \infty}\left |\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right|</math>
が存在すれば、{{math|''R'' {{=}} ''r''}} である。（極限が存在しない場合、収束半径はこの方法では求まらない。）
{{math|''e''
:<math>\begin{align}\scriptstyle
\lim_{n \to \infty}\left|\frac{1/n!}{1/(n+1)!} \right|
41 ⟶ 39行目:
&\scriptstyle = \infty
\end{align}</math>
となる。{{math|cos ''x''}} の収束半径を求めるには、{{math|''y'' {{=}} ''x''
:<math>\begin{align} \scriptstyle
\lim_{n \to \infty}\left|\frac{(-1)^n/(2n)!}{(-1)^{n+1}/\{2(n+1)\}!} \right|
57 ⟶ 55行目:
&\scriptstyle =\infty
\end{align}</math>
であるので、任意の {{mvar|y}} で収束し、{{math|''y'' {{=}} ''x''
以上で {{equationNote|Macl1|(1)}}, {{equationNote|Macl2|(2)}}, {{equationNote|Macl3|(3)}} の右辺の収束半径が {{math|∞}} であることが証明された。</ref>。従ってこれらの級数は、{{mvar|x}} を複素変数と見て全複素平面上広義一様に[[絶対収束]]し、これらの級数によって表される関数は[[整関数]]である<ref group="注">全平面上正則な関数を整関数と言う。なおこれらは多項式でないので超越整関数であり、[[無限遠点]]を[[真性特異点]]に持つ</ref>。これら級数の収束性と[[正則関数]]に関する[[一致の定理]]により、[[解析接続|正則関数としての拡張]]は全平面でこの収束[[冪級数]]によって確定されるため、複素関数としての指数関数および、三角関数は通常、この級数展開式をもって定義される。
ここで、 {{math|''e''
:<math>\begin{align}
e^{ix}
73 ⟶ 71行目:
この公式は、歴史的には全く起源の異なる指数関数と三角関数が、[[複素数]]の世界では密接に結びついていることを表している。
たとえば、三角関数の[[三角関数#加法定理|加法定理]]は、指数法則 {{math|''e''
:<math>\begin{align}\scriptstyle
e^{a+b}
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となる。{{equationNote|D2|(2)}} を {{equationNote|D1|(1)}} に代入すると次のようになる。
{{numBlk|:|<math>(\cos x-i\sin x)\cdot e^{ix} =1.</math>|{{equationRef|D3|3}}}}
ここで {{equationNote|D3|(3)}} の両辺に、{{math|(cos ''x'' - ''i'' sin ''x'')}} の[[複素共役]] {{math|(cos ''x'' + ''i'' sin ''x'')}} を掛ければ、三角関数に関するピタゴラスの定理 {{math|sin
:<math>e^{ix} =\cos x+i\sin x.</math>
|drop=no}}{{math proof|
131 ⟶ 129行目:
{{equationNote|D5|(5)}} を {{equationNote|D4|(4)}} に代入すると
:<math>(\cos x+i\sin x)\cdot e^{-ix} =1</math>
が導出される。この両辺に {{math|''e''
:<math>\begin{align}
e^{ix}
159 ⟶ 157行目:
{{equationNote|DE3|(3)}} と {{equationNote|DE1|(1)}} より
{{numBlk|:|<math>\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =iy</math>|{{equationRef|DE4|4}}}}
を得る<ref group="注">{{math|''i''
{{numBlk|:|<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm{d}(\alpha x)}e^{\alpha x} = e^{\alpha x}.</math>|{{equationRef|DE5|5}}}}
{{equationNote|DE4|(4)}} と {{equationNote|DE5|(5)}} を見比べ、{{math|''α'' {{=}} ''i''}} と置き換えれば、''f''(0) = 1 より
192 ⟶ 190行目:
i = C_2
\end{align}</math>|{{equationRef|2DE5|5}}}}
となるので<ref group="注">{{math|''e''
:<math>e^{ix} = \cos x + i\sin x.</math>
|drop=no}}
202 ⟶ 200行目:
ie^{ix} & -\sin x+i\cos x
\end{vmatrix}=e^{ix}(-\sin x + i\cos x) - e^{ix}(i\cos x - \sin x)=0</math>
として {{math|cos ''x'' + ''i'' sin ''x''}} と {{math|''e''
ここで、ある定数 {{mvar|C}} について
:<math>e^{ix} = C(\cos x + i\sin x)</math>
257 ⟶ 255行目:
&= 1+na_{n}+\binom{n}{2}a_{n}^2+ \dotsb
\end{align}</math>
であるから、{{mvar|a
本議論において
:<math>\begin{align}
304 ⟶ 302行目:
<ref name="野海正俊">[http://www.sci.kobe-u.ac.jp/old/seminar/pdf/noumi2007.pdf オイラーの数学から — 『無限解析序説』への招待 － 野海 正俊]</ref>
<ref name="複素数の取り扱い">[http://www.kutl.kyushu-u.ac.jp/~member/noro/KikanButsuri_IA/4_keiji.pdf 複素数の取り扱いとオイラーの公式]</ref>
<ref name="kwansei-univ-euler">[http://sci-tech.ksc.kwansei.ac.jp/~shimeno/math/euler/euler.pdf {{math|e
<ref name="複素関数を学ぶ人のために">[http://collie.low-temp.sci.yamaguchi-u.ac.jp/~ashida/work/comp.pdf 複素関数を学ぶ人のために － 山口大学 理学部 物理・情報科学科 - 芦田 正巳]</ref>
}}
314 ⟶ 312行目:
{{commonscat|Euler's formula}}
*{{Cite book|和書
|
|coauthor = レイトン、サンズ
|translator = 坪井忠二
331 ⟶ 326行目:
}}
* {{Cite book|和書
|
▲|title = オイラーの贈物—人類の至宝 {{math|e<sup>''i''π</sup> {{=}} −1}} を学ぶ
|edition = 新装版
|year = 2010
342 ⟶ 336行目:
}}
*{{Cite book|和書
|
|year = 2011
|title = 相対性理論の式を導いてみよう、そして、人に話そう
|publisher = ベレ出版
|pages =
|isbn = 978-486064-267-9
}}
* {{Cite book|和書
|author = 藤田宏
|title = 応用数学 (放送大学教材)
364 ⟶ 354行目:
|last = Dunham
|first = William
|title = Euler: The Master of Us All
|url = http://paginas.fisica.uson.mx/horacio.munguia/Personal/Documentos/Libros/Euler%20The_Master%20of%20Us.pdf<!--これは著作権的に問題ないものですか？-->
373 ⟶ 362行目:
}}
* {{Cite book|和書
|author = 杉浦光夫
|title = 解析入門I
384 ⟶ 371行目:
}}
* {{Cite book|和書
|author = 田村二郎
|title = 解析関数（新版）
399 ⟶ 384行目:
{{複素数}}
{{DEFAULTSORT:おいらあのこうしき}}
[[Category:複素数]]
[[Category:複素解析の定理]]
[[Category:ネイピア数]]
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