「オイラーの公式」の版間の差分

[[Image画像:Euler's formula.svg|thumb|right|オイラーの公式の図形的な表現。グラフは横軸が実数軸、縦軸が虚数軸の複素平面であり、{{mvar|φ}} は複素数 {{math|''e{{sup|iφ}}''}} の偏角である。]]

[[数学]]、特にの[[複素解析]]における'''オイラーの公式'''（オイラーのこうしき、{{lang-en-short|Euler's formula}}）とは、[[複素指数函数]]と[[三角関数]]の間に成り立つ、以下の関係をいう。[[恒等式]]のことである：

:<math>e^{i\theta} = \cos\theta +i\sin\theta</math>

ここで {{math|''e''{{sup|'''&middot;'''}}}} は指数関数、{{mvar|i}} は[[虚数単位]]、{{math|cos '''&middot;''', sin '''&middot;'''}} はそれぞれ余弦関数および正弦関数である<ref group="注">指数関数 {{math|''e''{{sup|'''&middot;'''}}}} は[[冪乗|累乗]]を拡張したもので、複素数 {{mathmath2|''x'', ''y''}} について {{math|''e''{{sup|''x''}}'' × ''e{{sup|''y}}''}} {{=}} e{{sup|''x''+''y''}}}} という関係が成り立つ。{{math|''e'' {{=}} ''e''{{sup|1}} {{=}} 2.718281828…}} は'''自然対数の底'''あるいは'''[[ネイピア数]]'''と呼ばれる。<br />虚数単位 {{mvar|i}} は {{math|''i''{{sup|2}} {{=}} ''i'' × ''i'' {{=}} &minus;1}} を満たす複素数である。<br />余弦関数 {{math|cos&thinsp;'''&middot;'''}} および正弦関数 {{math|sin&thinsp;'''&middot;'''}} は三角関数の一種である。正弦関数 {{math|sin ''θ''}} は、[[直角三角形]]の[[斜辺]]とその三角形の変数 {{mvar|θ}} に対応する角度を持つ[[鋭角]]の[[対辺]]（正弦）の長さの比を表す。余弦関数 {{math|cos ''θ''}} はもう一方の鋭角（余角）の対辺と斜辺の長さの比を表す。単位円（半径の長さを 1 とする円）の中心を原点とする直交座標系をとったとき、単位円上の点を表す {{math|''x'', ''y''}} 座標はそれぞれ {{math|cos''θ''}}, {{math|sin ''θ'''}} に等しい（{{mvar|θ}} は円の中心と円周上の点を結ぶ直線と、{{mvar|x}} 軸のなす角の大きさに対応する）。<br />文献によっては、指数関数は、{{en|<u>exp</u>onent}}（指数）から3字取って {{math|exp ''x'' ({{=}} ''e''{{sup|''x''}})}} と表される。また虚数単位には {{mvar|i}} でなく {{mvar|j}} を用いることがある。</ref>。任意の[[複素数]] {{mvar|θ}} に対して成り立つ等式であるが、特に {{mvar|θ}} が実数である場合が重要でありよく使われる。{{mvar|θ}} が[[実数]]のとき、{{mvar|θ}} は[[複素数]] {{math|''e''{{sup|''iθ''}}}} がなす[[複素平面]]上の[[複素数#極形式|偏角]]（角度 {{mvar|θ}} の単位は[[ラジアン]]）に対応する。