「ディリクレの関数」の版間の差分

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'''ディリクレの関数'''(ディリクレの-かんすう)とは、[[実数]]全体の成す集合 '''R''' 上で定義される次のような[[関数 (数学)|関数]]のことである。
 
: <math>
\end{cases}
</math>
ただし、'''Q''' は[[有理数]]全体の成す集合である。
式から分かるように、この関数はいたるところで不連続である。さらに、
: <math>\sup \int^a_b f(x)dx=a-b</math>
: <math>\inf \int^a_b f(x)dx=0</math>
が成り立つから、(sup&int; を[[上積分]]、inf&int; を[[下積分]]という)ディリクレの関数はリーマン[[積分]]不可能であることが分かる。([[ルベーグ積分]]は可能で、その値は 0 である。これは、[[可算無限集合]]である '''Q''' は[[ルベーグ測度]]に関して零集合であることによる)
 
==周期性==
この関数は、任意の有理数aに対して <math>f(x+a)=f(x)</math> となる。これは有理数全体の集合が[[群 (数学)|加法について閉じている]]ことによる。
 
また、この関数は無限個の周期を持ち、かつ定数関数とならない一例である。
ディリクレの関数は、[[ペーター・グスタフ・ディリクレ|ディリクレ]]本人によって、
: <math>f(x)=\lim_{n\to \infin} \lim_{k\to \infin} \cos^{2k} (n!\, \pi x)</math>
と表せることが示されている<ref>{{citation| first = Peter Gustav | last = Lejeune Dirichlet | title = Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à représenter une fonction arbitraire entre des limites données| journal = Journal für die reine und angewandte Mathematik |volume = 4 | year = 1829 | url = https://eudml.org/doc/183134 | pages = 157–169}} </ref>(したがってディリクレ関数は 2 階の[[ベール関数]]の一例である)。その方法は次による。
 
任意の有理数 ''{{Mvar|q''}} を考える。[[階乗|''{{Mvar|n''}}!]] ''{{Mvar|q''}} は、十分大きな ''{{Mvar|n''}} に対して恒等的に[[整数]]である。それに比べ、無理数 ''{{Mvar|r''}} は、いくら ''{{Mvar|n''}} を大きく取っても ''{{Mvar|n''}}! ''{{Mvar|r''}} が整数にならない。従って、ディリクレの関数は、次のように変形できる。
: <math>
f(x)=
(n \to \infin)
</math>
ただし、'''Z''' は整数全体の成す集合。さてここで、関数
: <math>
F(x)=
\end{cases}
</math>
を表示できれば、''{{Mvar|f''}}(''{{Mvar|x''}}) = lim[''{{Mvar|n''}}&rarr;&infin;] F(''{{Mvar|n''}}!''{{Mvar|x''}}) となって決着がつく。(''{{Mvar|F''}} は単独で考えても興味深い関数である。) ''{{Mvar|F''}} は、[[不連続]]でありながらも[[周期的]]である。一定の[[周期]]を持つ関数として[[三角関数]]を考える。cos<sup>2</sup>(&pi;''{{Mvar|x''}}) は、''{{Mvar|x''}} が整数であれば 1 を返し、それ以外であれば [0, 1) 内の実数を返す。[0, 1) 内の実数は、無限回[[冪乗]]することによって 0 に収束させることが出来る。また、1 はいくら冪乗しても常に 1 となって変化しない。これより、
: <math>F(x)=\lim_{k\to \infin} \cos^{2k} (\pi x)</math>
が結論付けられる。従って、
: <math>f(x)=\lim_{n\to \infin} F(n!x)=\lim_{n\to \infin} \lim_{k\to \infin} \cos^{2k} (n!\pi x)</math>
となる訳である。
 
== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{reflist}}
 
== 関連項目 ==
{{Div col}}
*[[カントール関数]]
*[[高木関数]]
*[[トマエ関数]]
*[[ワイエルシュトラス関数]]
{{Div col end}}
 
== 外部リンク ==
*{{高校数学の美しい物語|title=ディリクレ関数の定義と有名な3つの性質|urlname=dirifunction}}
*{{PDFlink|[http://www.libe.nara-k.ac.jp/~yano/biseki2_2015/20151007_resume.pdf Dirichlet関数]}}
*{{YouTube|Fa4vw-AEPtc|ディリクレ関数の具体的な形は? 解析入門}}
*{{MathWorld|title=Dirichlet Function|urlname=DirichletFunction}}
 
{{病的な関数の一覧}}
{{DEFAULTSORT:ていりくれのかんすう}}
[[Category:解析学]]
[[Category:特殊関数]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:特殊関数]]