「ディリクレの関数」の版間の差分

'''ディリクレの関数'''（ディリクレの-かんすう）とは、[[実数]]全体の成す集合 '''R'''ℝ 上で定義される次のような[[関数 (数学)|関数]]のことである。

ただし、'''Q'''ℚ は[[有理数]]全体の成す集合である。

が成り立つから、（sup∫ を[[上積分]]、inf∫ を[[下積分]]という）ディリクレの関数はリーマン[[積分]]不可能であることが分かる。（[[ルベーグ積分]]は可能で、その値は 0 である。これは、[[可算無限集合]]である '''Q'''ℚ は[[ルベーグ測度]]に関して零集合であることによる）

この関数は、任意の有理数aに対して <math>f(x+a)=f(x)</math> となる。これは有理数全体の集合 ℚ が[[群 (数学)|加法について閉じている]]ことによる。

と表せることが示されている<ref>{{citation| first = Peter Gustav | last = Lejeune Dirichlet | title = Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à représenter une fonction arbitraire entre des limites données| journal = Journal für die reine und angewandte Mathematik |volume = 4 | year = 1829 | url = https://eudml.org/doc/183134 | pages = 157–169}} </ref>（したがってディリクレ関数は 2 階の[[ベール関数]]の一例である）。その方法は次による。

任意の有理数 ''{{Mvar|q''}} を考える。[[階乗|''{{Mvar|n''}}!]] ''{{Mvar|q''}} は、十分大きな ''{{Mvar|n''}} に対して恒等的に[[整数]]である。それに比べ、無理数 ''{{Mvar|r''}} は、いくら ''{{Mvar|n''}} を大きく取っても ''{{Mvar|n''}}! ''{{Mvar|r''}} が整数にならない。従って、ディリクレの関数は、次のように変形できる。

ただし、'''Z'''ℤ は整数全体の成す集合。さてここで、関数

を表示できれば、''{{Mvar|f''}}(''{{Mvar|x''}}) = lim[''{{Mvar|n''}}&rarr;&infin;] F(''{{Mvar|n''}}!''{{Mvar|x''}}) となって決着がつく。（''{{Mvar|F''}} は単独で考えても興味深い関数である。） ''{{Mvar|F''}} は、[[不連続]]でありながらも[[周期的]]である。一定の[[周期]]を持つ関数として[[三角関数]]を考える。cos²(&pi;''{{Mvar|x''}}) は、''{{Mvar|x''}} が整数であれば 1 を返し、それ以外であれば [0, 1) 内の実数を返す。[0, 1) 内の実数は、無限回[[冪乗]]することによって 0 に収束させることが出来る。また、1 はいくら冪乗しても常に 1 となって変化しない。これより、