「絶対値」の版間の差分

実数の絶対値が定める非負実数値函数 {{<math|'''>\mathbb R''' ∋\ni ''x'' {{\mapsto}} {{abs|''x''}}| \in ∈\mathbb '''R'''{{sub|R_+}}}} </math> は至る所[[連続函数|連続]]で、{{<math|1=''> x'' =0 0}}</math> を除き至る所[[微分可能]]{{efn|ただし、この微分可能性は複素微分可能を意味しない。つまり、複素変数の絶対値函数は[[コーシー–リーマンの方程式]]を満たさない{{R|MathWorld}}。}}である。また、区間 {{open<math> (-closed|−∞\infty ,0}} ] </math> 上で[[単調写像|単調減少]]であり、区間 {{closed-open|<math>[ 0,+∞}}\infty) </math> で単調増加である。各実数とその[[反数]]の絶対値は同じ値であるから、絶対値函数は[[偶函数]]であり、それゆえ[[逆函数]]を持たない。この実絶対値函数は[[区分線型関数|区分線型]][[凸函数]]である。また、[[冪等]]である。

* [[符号函関数]] {{<math|sign(''> \sgn x'')}} </math>を用いれば、{{<math> |x|1={{abs|''x''}}\cdot =\sgn ''x''&sdot;sign(''</math>、また <math>x=|x'')}}|\cdot \sgn x</math>と書ける。また {{<math|1=''x''> = {{abs|''x''}}&sdot;sign(''x'')}} であり、{{math|''x'' ≠\ne 0}} </math> のとき {{<math|1=sign(''> \sgn x'') = ''\frac{x''/}{{abs|''x''|}} = \frac{{abs|''x''|}}/''{x''}} </math> が成り立つ。

{{<math|''> x'' ≠\ne 0}} </math>における導函数

: <math>\frac{d}{dx}|x|/dx = \begin{cases} 1 & (x>0)\\ -1 & (x<0)\end{cases}</math>

は {{<math|sign(''>\sgn x'')}} </math>（あるいは本質的に[[ヘヴィサイドの階段関数]]<ref name="MathWorld">{{MathWorld|urlname=AbsoluteValue|title=Absolute Value}}</ref>{{sfn|Bartle|Sherbert|2011|p=163}}）であり、定義可能な範囲 {{<math|>(&minus;&infin;-\infty, 0) &\cup; (0, &infin;\infty)}}</math> における連続函数であるが、{{<math|1=''>x'' = 0}}</math> における値をどのように定めるとしても {{mathbf|<math>\mathbb R}}</math> 全体で連続な函数へ延長することは出来ない。

* {{<math|1=''>x'' = 0}}</math> における {{<math>|{{abs|''x''}}}}|</math> の[[劣微分|劣微分係数]]は、区間 {{closed<math>[-closed|−11,1}} ]</math>である<ref>{{citation|first=Peter |last=Wriggers |editor-first= Panagiotis |editor-last= Panatiotopoulos |title= New Developments in Contact Problems |year= 1999 |isbn=3-211-83154-1}}</ref>{{rp|{{google books quote|id=tiBtC4GmuKcC|pg=PA31|31–32}}}}。

* {{<math>|{{abs|''x''}}}}|</math> の {{mvar|<math>x}}</math> に関する二階導函数は {{<math|1=''>x'' = 0}}</math> を除く至る所存在して零に等しい（{{<math|1=''>x'' = 0}}</math> では存在しない）。しかし[[シュヴァルツ超函数|超函数微分]]の意味での二階導函数は[[ディラックデルタ]]の二倍に等しい。

: <math>\int |x|\,dx = \frac{1}{2}x|x| + C</math>