「概マシュー作用素」の版間の差分
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<math>\alpha</math> が[[有理数]]であるなら、<math>H^{\lambda,\alpha}_\omega</math> は周期作用素であり、したがって[[フロケ理論]]によりその[[スペクトル (関数解析学)|スペクトル]]は純粋に[[絶対連続]]である。
<math>\alpha</math> が[[無理数]]である場合を考える。変換 <math> \omega \mapsto \omega + \alpha </math> は極小であるので、<math>H^{\lambda,\alpha}_\omega</math> のスペクトルは <math> \omega </math> には依存しない。一方、エルゴード性より、そのスペクトルの絶対連続な部分、特異連続な部分および純点部分は[[ほとんど (数学)#ほとんど確実に|ほとんど確実にx]] <math> \omega </math> に独立である。今、次の関係が知られている。
* <math>0 < \lambda < 1</math> なら、<math>H^{\lambda,\alpha}_\omega</math> は確実に純粋に絶対連続なスペクトルを持つ<ref>{{cite journal |first=A. |last=Avila |year=2008 |title=The absolutely continuous spectrum of the almost Mathieu operator |work=Preprint |arxiv=0810.2965 }}</ref>（これはサイモンの問題の一つであった）。
* <math>\lambda= 1</math> なら、<math>H^{\lambda,\alpha}_\omega</math> はほとんど確実に純粋に特異連続なスペクトルを持つ<ref>{{cite journal |last=Gordon |first=A. Y. |last2=Jitomirskaya |first2=S. |last3=Last |first3=Y. |last4=Simon |first4=B. |title=Duality and singular continuous spectrum in the almost Mathieu equation |journal=[[Acta Mathematica|Acta Math.]] |volume=178 |year=1997 |issue=2 |pages=169–183 |doi=10.1007/BF02392693 }}</ref>（まれなパラメータに対して固有値が存在し得るかは知られていない）。
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