「平均値の定理」の版間の差分

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{{Calculus}}
[[ファイル:Mvt2.svg|thumb|right|346px|[''a'', ''b''] で連続かつ (''a'', ''b'') で微分可能な関数に対して、平均変化率に等しい傾きを持つ接線を与える点 ''c'' が (''a'', ''b'') 内に存在する。]]
[[微分積分学]]における'''平均値の定理'''(へいきんちのていり、{{lang-en-short|<em>mean-value theorem</em>}})または'''有限増分の定理''' ({{lang-fr-short|''Théorème des accroissements finis''}}{{efn|英語転写すれば theorem of finite increments}}) は、[[実函数|実関数]]に対して有界な領域上の[[積分]]に関わる大域的な値を、[[微分]]によって定まる局所的な値として実現する点が領域内に存在することを主張する。平均値の定理にはいくつかバリエーションがあるが、単に 「平均値の定理」 と言った場合は、'''ラグランジュの平均値の定理'''と呼ばれる微分に関する平均値の定理のことを指す場合が多い。
 
平均値の定理は微積分学の他の定理の証明(例えば、[[テイラーの定理]]、[[微分積分学の基本定理]])にしばしば利用される、大変有用なものである。平均値の定理の証明自体には[[ロルの定理]]を用いる。その一方で、平均値の定理はそのまま多変数の関数に適用することはできない。また、もっと弱い条件の元でも同じ定理が成り立つ。その他種々の理由から、平均値の定理を使うこと避ける数学者もいる。多変数関数にも使えて、平均値の定理の代わりになるような定理として、有限増分不等式がある。これは存在型ではない。あるいは、積分を持ち込んで微積分学の基本定理で代用することもある。
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