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:<math>C_{2,3} = (-1)^{2+3} M_{2,3} = -13</math>
=== 一般の定義 ===
{{math|''m'' × ''n''}} 行列 {{mvar|A}} に対して、正の整数 {{mvar|k}} が {{math2|''k'' ≤ ''m, n''}} を満たすとき、{{mvar|k}}次'''小行列式''' (''minor determinant of order {{mvar|k}}''){{efn|英語では "minor deternimant" の "determinant" はよく省略され、単に "minor" といった場合は普通（小行列ではなく）小行列式の意味である。<br />小行列は英語では、普通は "''(square) submatrix''" と呼んでいる。}}とは、{{mvar|A}} の {{mvar|m}}個の行から選んだ {{mvar|k}}個の行に属し、{{mvar|n}}個の列から選んだ {{mvar|k}}個の列にも属する成分からなる {{mvar|k}}次小正方行列の行列式のことである。このことは、{{mvar|A}} から {{math|''m'' − ''k''}}個の行と {{math|''n'' − ''k''}} 個の列を除いて得られる {{mvar|k}}次小正方行列の行列式ということもできる。
{{math|''m'' × ''n''}}行列の小行列（式）の作られ方は、全部で <math>\textstyle{m \choose k} \cdot {n \choose k}</math>個ある。
{{mvar|A}} を {{math|''m'' × ''n''}} 行列とし，{{mvar|k}} を整数で {{math|0 < ''k'' ≤ ''m,n'',}} とする．{{mvar|A}} の {{math|''k'' × ''k''}} '''小行列式'''{{efn|{{mvar|A}} の {{math|''k'' × ''k''}} 小行列式は {{mvar|A}} の '''{{mvar|k}}-次小行列式''' (''minor determinant of order {{mvar|k}}'') とも呼ぶ。{{math|1=''m'' = ''n''}} のとき、{{mvar|A}} の {{mvar|k}} 個の行と列を除去して得られる正方小行列の行列式を'''第 {{mvar|''k''}}-小行列式'''と呼ぶ（第 {{mvar|k}}-小行列式は {{math|''n'' − ''k'')}}-次小行列式であることに注意）。英語では "minor deternimant" の "determinant" はよく省略され、単に "minor" といった場合はふつう（小行列ではなく）小行列式の意味である。{{mvar|k}}-次 ("order" {{mvar|k}}) という代わりに'''次数''' {{mvar|k}} ("degree" {{mvar|k}}) とも言う。}}は {{mvar|A}} から {{math|''m'' − ''k''}} 個の行と {{math|''n'' − ''k''}} 個の列を除いて得られる {{math|''k'' × ''k''}} 行列の行列式である{{efn|英語では、行列 {{mvar|A}} から上で述べたように（{{math|''m'' − ''k''}} 個の行と {{math|''n'' − ''k''}} この列を削除して）得られる {{math|''k'' × ''k''}} 行列（{{mvar|k}}-次小行列）のことをして "minor" と呼ぶことも稀にあるが、そのようなものは {{mvar|A}} の "''(square) submatrix''" と呼んで、"minor" はその行列式を指すのに用いるのが普通である。}}．上の行列 {{mvar|A}} に対して，全部で <math>{m \choose k} \cdot {n \choose k}</math> 個のサイズが {{math|''k'' × ''k''}} の小行列式が存在する．'''零次の小行列式''' (''Minor of order zero'') はしばしば {{math|1}} と定義される（[[空積]]も参照のこと）．対照的に、正方行列に対する'''第零小行列式''' (''zeroth minor'') とは、単にその行列の行列式のことを言う<ref>Elementary Matrix Algebra (Third edition), Franz E. Hohn, The Macmillan Company, 1973, ISBN 978-0-02-355950-1</ref><ref>Minor. Encyclopedia of Mathematics. http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Minor&oldid=30176</ref>．
'''零次の小行列式''' (''Minor of order zero'') はしばしば {{math|1}} と定義される（[[空積]]も参照のこと）。
{{math|1 ≤ ''i''{{sub|1}} < ''i''{{sub|2}} < ⋯ < ''i{{sub|k}}'' ≤ ''m''}}, {{math|1 ≤ ''j''{{sub|1}} < ''j''{{sub|2}} < ⋯ < ''j{{sub|k}}'' ≤ ''n''}} を添え字の順序列とし（小行列式について話すときには特に断らない限りつねにそうであるように，自然な順序で），それらをそれぞれ {{mvar|''I'', ''J''}} と呼ぶ．添え字のこれらの選択に対応する小行列式 <math>\det((A_{i_p, j_q})_{p,q = 1, \ldots, k})</math> は {{math2|det{{sub|''I'',''J''}}''A'', [''A'']{{sub|''I'',''J''}}, ''M''{{sub|''I'',''J''}}, ''M''{{sub|''i''{{sub|1}}, ''i''{{sub|2}}, ..., ''i{{sub|k}}'', ''j''{{sub|1}}, ''j''{{sub|2}}, ..., ''j{{sub|k}}''}}, ''M''{{sub|(''i''),(''j'')}}}} などと書かれる（ただし {{math|(''i'')}} は添え字の列 {{mvar|I}} を表す，等）．また，文献によって2種類の意味がある：添え字 {{mathbf|I}} と {{mathbf|J}} の順序列に伴う小行列式によって，ある著者は<ref>Linear Algebra and Geometry, Igor R. Shafarevich, Alexey O. Remizov, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2013, ISBN 978-3-642-30993-9</ref>上のようにもとの行列の元を行は添え字が {{mathbf|I}} に入っていて列は添え字が {{mathbf|J}} に入っているものから取って作られる行列の行列式を意味し，他のある著者は {{mathbf|I}} と {{mathbf|J}} に伴う小行列式によってもとの行列から {{mathbf|I}} の行と {{mathbf|J}} の列を除去することで得られる行列の行列式を意味する<ref>Elementary Matrix Algebra (Third edition), Franz E. Hohn, The Macmillan Company, 1973, ISBN 978-0-02-355950-1</ref>．どの表記が使われているかはいつも確認すべきである．この記事では，{{mathbf|I}} の行と {{mathbf|J}} の列から元を選ぶ，含む方の定義を用いる．例外的な場合は {{math|(''i'', ''j'')}} 小行列式の場合である；この場合，取り除く方の表記 <math> M_{i,j} = \det(( A_{p,q})_{p \neq i, q \neq j})</math> がどの文献でも標準的であり，この記事においても用いる．
対照的に、正方行列に対する'''第零小行列式''' (''zeroth minor'') とは、単にその行列の行列式のことを言う<ref>Elementary Matrix Algebra (Third edition), Franz E. Hohn, The Macmillan Company, 1973, ISBN 978-0-02-355950-1</ref><ref>Minor. Encyclopedia of Mathematics. http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Minor&oldid=30176</ref>。
元々の {{mvar|A}} の行・列を具体的に指定して表記するには、{{math2|1 ≤ ''i''{{sub|1}} < ''i''{{sub|2}} < … < ''i{{sub|k}}'' ≤ ''m'', 1 ≤ ''j''{{sub|1}} < ''j''{{sub|2}} < … < ''j{{sub|k}}'' ≤ ''n''}} に対して、それらをそれぞれ {{math2|''I'', ''J''}} と呼ぶことにすると、これらの添え字から得られる小行列式 <math>\det((A_{i_p, j_q})_{p,q=1,\cdots,k})</math> は
:{{math2|det{{sub|''I'',''J''}}''A'', [''A'']{{sub|''I'',''J''}}, ''M''{{sub|''I'',''J''}}, ''M''{{sub|''i''{{sub|1}}, ''i''{{sub|2}}, ..., ''i{{sub|k}}'', ''j''{{sub|1}}, ''j''{{sub|2}}, ..., ''j{{sub|k}}''}}, ''M''{{sub|(''i''),(''j'')}}}}
などと書かれる（{{math|(''i'')}} は添え字の列 {{mvar|I}} を表す）。注意しないといけないのは、文献・著者によって全く逆の2種類の意味を指すことがあることである。著者<ref>Linear Algebra and Geometry, Igor R. Shafarevich, Alexey O. Remizov, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2013, ISBN 978-3-642-30993-9</ref>によっては、{{math2|''I'', ''J''}} のどちらにも属している成分から作られる行列の行列式を意味し、著者<ref>Elementary Matrix Algebra (Third edition), Franz E. Hohn, The Macmillan Company, 1973, ISBN 978-0-02-355950-1</ref>によっては、{{math2|''I'', ''J''}} に対応する行・列を除いて得られる行列の行列式を意味する。この記事では前者（{{mvar|I}} の行と {{mvar|J}} の列から元を選ぶ）の方の定義を用いる。例外的な場合は {{math|(''i'', ''j'')}}小行列式の場合である；この場合、取り除く方の表記 <math>M_{i,j} = \det(( A_{p,q})_{p \neq i, q \neq j})</math> がどの文献でも標準的であり、この記事においても用いる。
===補小行列式===
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