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「余因子行列」の版間の差分

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ビジュアルウィキテキスト
111行目:
* <math>\operatorname{adj}(I) = I</math>（{{mvar|I}} は単位行列）
* <math>\operatorname{adj}(cA) = c^{n-1}\operatorname{adj}(A)</math>（{{mvar|c}} はスカラー）
* <math>\operatorname{adj}(A^\mathsf{T}) = \operatorname{adj}(A)^\mathsf{T}</math>（{{math|T}} は[[転置行列|転置]]を表す）
* <math>\det(\operatorname{adj}(A)) = (\det A)^{n-1}</math>
* {{mvar|A}} が[[正則行列|正則]]なら、<math>\operatorname{adj}(A) = (\det A) A^{-1}</math>
136行目:
 
これより、行列の冪乗について次が成り立つ：
:*<math>\operatorname{adj}(A^k) = (\operatorname{adj} A)^k</math>（{{mvar|k}} は {{math|0}} 以上の整数）
**{{mvar|A}} が正則なら、この等式は {{mvar|k}} が負の整数の場合についても成り立つ。▼
 
:*<math>\mathbf{A}\operatorname{adj}(\mathbf{A} + \mathbf{B})\mathbf{B} = \mathbf{B}\operatorname{adj}(\mathbf{A} + \mathbf{B})\mathbf{A}.</math>▼
▲{{mvar|A}} が正則なら、この等式は {{mvar|k}} が負の整数の場合についても成り立つ。
::等式
 
:::<math>(\mathbf{A} + \mathbf{B})\operatorname{adj}(\mathbf{A} + \mathbf{B})\mathbf{B} = \det(\mathbf{A} + \mathbf{B})\mathbf{B} = B\mathbf{B}\operatorname{adj}(\mathbf{A} + B)\mathbf{B})(\mathbf{A} + \mathbf{B}),</math>▼
From the identity
::から導かれる。
▲:<math>(\mathbf{A} + \mathbf{B})\operatorname{adj}(\mathbf{A} + \mathbf{B})\mathbf{B} = \det(\mathbf{A} + \mathbf{B})\mathbf{B} = \mathbf{B}\operatorname{adj}(\mathbf{A} + \mathbf{B})(\mathbf{A} + \mathbf{B}),</math>
we deduce
▲:<math>\mathbf{A}\operatorname{adj}(\mathbf{A} + \mathbf{B})\mathbf{B} = \mathbf{B}\operatorname{adj}(\mathbf{A} + \mathbf{B})\mathbf{A}.</math>
 
Suppose that {{math|'''A'''}} commutes with {{math|'''B'''}}. Multiplying the identity {{math|1='''AB''' = '''BA'''}} on the left and right by {{math|adj('''A''')}} proves that
166 ⟶ 164行目:
* {{math|rk(''A'') ≤ ''n'' &minus; 2}} のとき、{{math|adj(''A'') {{=}} ''O''}}
* {{math|rk(''A'') {{=}} ''n'' &minus; 1}} のとき、{{math|1=rk(adj(''A'')) = 1}}
::（{{mvar|A}} のある小行列式は {{math|0}} でない、故に {{math|adj(''A'')}} は {{math|0}} でなく、したがって、階数は {{math|1}} 以上である。等式 {{math|1=adj(''A'')&thinsp;''A'' = ''0''}} は、{{math|adj('''A''')}} の[[核 (代数学)|核]]の次元は {{math|''n'' &minus; 1}} 以上であることを意味する。故に、{{math|adj(''A'')}} の階数は {{math|1}} 以下である。）It follows that ）
::このとき、{{math|adj(''A'')}} は次のように表せる：
::{{math2|1=adj('''A''') = ''α'''xy''xy'''{{sup|T}}}}, where {{mvar|α}} is スカラーで （{{math2|'''x''','''y'''}} は {{mathmath2|1=''A'''''x''Ax''' = '''0''o'''''}} andかつ {{math|1='''A'''{{sup|T}}&thinsp;'''y''' {{=}} '''0''o'''''}} を満たすベクトルである。）
 
=== 列の置き換えとクラメルの公式 ===
172行目:
{{mvar|A}} の列ベクトル表示を
:<math>A = (\boldsymbol{a}_1 \ \cdots \ \boldsymbol{a}_n)</math>
とし、{{mathbf|''b''}} を {{mvar|n}}次列ベクトルとする。固定された {{math2|1 ≤ ''j'' ≤ ''n''}} に対し、{{mvar|A}} の第 {{mvar|j}}列を {{mathbf|''b''}} で置き換えた行列を次の記号で定義する：
:<math>(A \stackrel{j}{\leftarrow} \boldsymbol{b})\ \stackrel{\text{def}}{=}\ \begin{pmatrix}
\boldsymbol{a}_1 &\cdots &\boldsymbol{a}_{j-1} &\boldsymbol{b} &\boldsymbol{a}_{j+1} &\cdots & \boldsymbol{a}_n
\end{pmatrix}</math>
この行列の行列式を第{{mvar|j}}列に関して余因子展開するとし、こそれらを集めてできる列ベクトルは、積 {{math|adj(''A'')'''''b'''''}} に等しくなる：
:<math>\left(\det(A \stackrel{j}{\leftarrow} \boldsymbol{b})\right)_{j=1}^n = \operatorname{adj}(A)\boldsymbol{b}</math>
この等式は、具体的な結果を生む。[[線形方程式系]]
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