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{{otheruses2|行列式の展開|ポテンシャルの展開|{{仮リンク|ラプラス展開 (ポテンシャル)|en|Laplace expansion (potential)}}}}
[[数学]]の[[線型代数学]]における'''余因子展開'''（よいんしてんかい、{{lang-en-short|cofactor expansion}}）、あるいは[[ピエール・シモン・ラプラス]]の名に因んで'''ラプラス展開'''とは、{{mathmvar|''n'' × ''n''}} 次[[正方行列]] {{mvar|BA}} の[[行列式]] {{math|{{mabsabs|''BA''}}}} の、{{mvar|n}} 個の {{mvar|BA}} の {{math|(''n'' − 1) × (''n'' −− 1)}} 次[[小行列の行列式]]の重み付き和としての表示である。余因子展開は行列式を見るいくつかの方法の1一つとして理論的に興味深いし、行列式の実際の計算においても有用である。▼
 
{{mvar|A}} の {{math|(''i'', ''j'')}}{{仮リンク|余因子|en|cofactor (linear algebra)|preserve=1}}とは、次で定義されるスカラーである：
▲[[線型代数学]]における'''余因子展開'''（よいんしてんかい、{{lang-en-short|cofactor expansion}}）、あるいは[[ピエール・シモン・ラプラス]]の名に因んで'''ラプラス展開'''とは、{{math|''n'' × ''n''}} [[行列]] {{mvar|B}} の[[行列式]] {{math|{{mabs|''B''}}}} の、{{mvar|n}} 個の {{mvar|B}} の {{math|(''n'' − 1) × (''n'' − 1)}} 小行列の行列式の重み付き和としての表示である。余因子展開は行列式を見るいくつかの方法の1つとして理論的に興味深いし、行列式の実際の計算においても有用である。
:<math>C_\widetilde{ija}_{i,j}\ = (-1)^{i+j} M_{ij}\,i,j}</math>▼
 
ここで {{math|''M''{{sub|''i'',''j''}}}} は {{mvar|BA}} の {{math|(''i'', ''j'')}}-小行列式、つまり、{{仮リンクmvar|余因子|en|cofactorA}} (linear algebra)から第{{mvar|preserve=1i}}は次で定義さ行と第{{mvar|j}}列を除いて得られるスカラー {{mvarmath|C<sub>ij</sub>(''n'' &minus; 1)}} 次[[小行列|小正方行列]]の行列式である：。
 
▲:<math>C_{ij}\ = (-1)^{i+j} M_{ij}\,,</math>
 
ただし {{mvar|M<sub>ij</sub>}} は {{mvar|B}} の {{math|(''i'', ''j'')}}-{{仮リンク|小行列式|en|minor (linear algebra)|preserve=1}}、つまり、{{mvar|B}} から第 {{mvar|i}} 行と第 {{mvar|j}} 列をとり除いて得られる {{math|(''n'' − 1) × (''n'' − 1)}} 行列の行列式である。
 
すると余因子展開は次で与えられる：
{{math theorem|1={{math|1=''BA'' = (''ba''<{{sub>|''iji''</sub>,''j''}})}} を {{mathmvar|''n'' × ''n''}} 次正方行列とし、任意の {{mathmath2|''i'', ''j'' ∈ {{mset|1, 2, ...…, ''n''}}}} を固定する。▼
 
するとその行列式 {{math|{{mabsabs|''BA''}}}} は次で与えられる：▼
▲{{math theorem|1={{math|1=''B'' = (''b''<sub>''ij''</sub>)}} を {{math|''n'' × ''n''}} 行列とし、任意の {{math|''i'', ''j'' ∈ {{mset|1, 2, ..., ''n''}}}} を固定する。
:<math> \begin{align}▼
 
|A| &= a_{i,1} \widetilde{a}_{i,1} + a_{i,2} \widetilde{a}_{i,2} + \cdots + a_{i,n} \widetilde{a}_{i,n} = \textstyle\sum\limits_{j'=1}^n a_{i,j'} \widetilde{a}_{i,j} \\
▲するとその行列式 {{math|{{mabs|''B''}}}} は次で与えられる：
& = a_{1,j} \widetilde{a}_{1j} + a_{2,j} \widetilde{a}_{2,j} + \cdots + a_{n,j} \widetilde{a}_{n,j} = \textstyle\sum\limits_{i'=1}^n a_{i',j} \widetilde{a}_{i',j}
 
▲:<math> \begin{align}
|B| & = b_{i1} C_{i1} + b_{i2} C_{i2} + \cdots + b_{in} C_{in} \\
& = b_{1j} C_{1j} + b_{2j} C_{2j} + \cdots + b_{nj} C_{nj} \\
& = \sum_{j'=1}^{n} b_{ij'} C_{ij'} = \sum_{i'=1}^{n} b_{i'j} C_{i'j}
\end{align}</math>
}}
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