「数学記号の表」の版間の差分

! style="width:1560%" | 記号 !! 意味解説

! [[プラス記号とマイナス記号|<math>+</math>]]

| 正符号

| rowspan="2" | ''{{mvar|x''}} の[[反数]]（[[加法]]に関する[[逆元]]）を表すために負符号を用いて {{math|&minus;''x''}} と記す。反数を与える演算を負符号で表すことに対応して、{{mvar|x}} 自身を与える[[恒等写像|恒等変換]]に正符号を用い、その結果を {{math|+''x''}} のように表すことがある。

! [[プラス記号とマイナス記号|<math>-</math>]]

| 負符号

! [[プラス記号とマイナス記号|<math>+</math>]]

| [[加法]] || {{math|''x'' + ''y''}} は {{mvar|x}} と {{mvar|y}} の和を表す

! [[Σ|<math>\textstyle\sum</math>]]

| [[総和]] ||

:<math>\sum_textstyle\sum\limits_{k=1}^n a_k := a_1 + a_2 + \dotsb + a_{n-1} + a_n.</math>

:<math>\sum_textstyle\sum\limits_{k=1}^\infty a_k \equiv \lim_lim\limits_{n \to \infty} \sum_sum\limits_{k=1}^{n} a_k</math>

:<math>\sum_textstyle\sum\limits_{P(k)} \,a_k</math>

! [[プラス記号とマイナス記号|<math>-</math>]]

| [[減法]] || {{math|''x'' &minus; ''y''}} は {{mvar|x}} と {{mvar|y}} の差を表す。通常、{{mvar|y}} の[[反数]] {{math|&minus;''y''}} を用いて {{math|''x'' + (&minus;''y'')}} と定義されている。

! [[プラスマイナス記号|<math>\pm</math>]]

| [[加法]]と[[減法]] || {{math|''x'' ± ''y''}} は {{mvar|x}} と {{mvar|y}} の和と差を表す。

! [[×|<math>\times</math>]]

| rowspan="3" | [[乗法]]

| rowspan="3" | {{math|''x'' × ''y''}} は {{mvar|x}} と {{mvar|y}} の積を表す。中黒を使って {{math|''x'' · ''y''}} と書いたりアスタリスクを使って {{math|''x'' * ''y''}} とも書く。特にアスタリスクは多くの[[プログラミング言語]]において乗法の演算子として用いられる。

! [[中黒|<math>\cdot</math>]]

! [[アスタリスク|<math>*</math>]]

! <math>\bullet^{-1}</math>

| [[乗法逆元]]

| <!--「乗法逆元」の説明文-->

! [[Π|<math>\textstyle\prod</math>]]

| [[総乗]] || Σ はたくさんの加法を一挙に表すものであったが、Π はたくさんの乗法を一挙に表すものである。

:<math>\prod_textstyle\prod\limits_{k=1}^n a_k = a_1 \times a_2 \times \dots\times a_n.</math>

他の記法のバリエーションも &sum;Σ に同じ。

! [[除算記号|<math>\div</math>]]

| rowspan="2" | [[除法]]

| rowspan="2" | {{math|''x'' ÷ ''y''}} は {{mvar|x}} を {{mvar|y}} で割った[[商]]と[[剰余]]の組か、あるいは商を表す。{{math|''x'' ÷ ''y''}} の商はしばしば[[分数]] {{math|{{sfrac|''x''/|''y''}}}} で表され、また斜線自体を商を与える演算子と見なすことがある。多くの[[プログラミング言語]]においては商を与える演算子として <code>/</code> が定義されている。

! [[スラッシュ (記号)|<math>/</math>]]

! [[感嘆符|<math>!</math>]]　$

| [[階乗]]　[[超階乗]] || {{math|''n''!}} は {{mvar|n}} の階乗を表す。　{{math|''n''$}} は {{mvar|n}} の[[超階乗]]を表す。

! <math>\delta_{ij}</math>

| [[クロネッカーのデルタ]] || {{math|1=''i'' = ''j''}} のとき {{math|1}}、{{mathmath2|''i'' &ne;≠ ''j''}} のとき {{math|0}}。

! <math>\lfloor \bullet \rfloor, [ \bullet ]</math>

| [[床関数と天井関数|床関数]] || <math>\lfloor x \rfloor</math> は {{mvar|x}} 以下の最大整数を表す。

! <math>\lceil \bullet \rceil</math>

| [[床関数と天井関数|天井関数]] || <math>\lceil x \rceil</math> は {{mvar|x}} 以上の最小整数を表す。

! <math>\binom{n}{k},\, {}_nC_k_n\text{C}_k,\, C_k^n </math>

| [[二項係数]]（[[組合せ (数学)|組み合わせ]]）

| 通常は括弧書きで表される。C を使った記法は様々なバリエーションがある。

{| class="wikitable" style="width:90%"

|+ 合同算術・初等数論

! style="width:15%" | 記号 !! 意味

! style="width:60%" | 解説

! <math>\operatorname{mod}</math>

| rowspan="2" | [[除法|剰余]]

| rowspan="2" | {{要出典範囲|「{{math2|''x'' mod ''y''}}」は整数 ''{{mvar|x''}} の属する法 ''{{mvar|y''}} の[[合同式|剰余類]]や、''{{mvar|x''}} を ''{{mvar|y''}} で割った余りを表す|date=2019年5月-05}}。[[C言語]]やその影響を受けた[[プログラミング言語]]などでは整数の剰余を与える演算子として <code>%</code> が定義されている<ref group="注">言語によっては <code>%</code> を[[エスケープ文字|エスケープ]]する必要があり、たとえば[[R言語]]では <code>%%</code> が用られる。</ref>。[[Fortran]] のように <code>mod</code> を用いる言語も存在する。

! [[パーセント記号|<math>\%</math>]]

! [[バーティカルバー|<math>|</math>]]

| 割り切る || {{math|''x'' &#124; ''y''}} は、{{mvar|x}} が {{mvar|y}} を割り切る、つまり {{mvar|x}} は {{mvar|y}} の[[約数]]であることを表す。

! <math>\not|</math>

| <math>|</math> の否定

| <!--「(x|y)の否定」の説明文-->

! [[合同記号|<math>\bullet \equiv \bullet \pmod \bullet</math>]]

| [[合同式|合同]]

| {{math|''n'' &equiv; ''m'' (mod ''d'')}} は {{mvar|n}} と {{mvar|m}} が {{mvar|d}} を[[除法|法]]として合同であることを示す。

! <math>\operatorname{ord}(\bullet)</math>

| [[位数 (群論)|位数]]

| ある[[群 (数学)|群]]の[[元 (数学)|元]]の個数を群の位数という。また群の元 {{mvar|x}} に対し、{{math|ord ''x''}} は {{mvar|x}} の生成する[[巡回群]]の位数を表す。

! <math>(\bullet,\bullet)</math>

| rowspan="2" | [[最大公約数]]

| rowspan="2" | {{math|(''a'', ''b'')}} は {{mvar|a}} と {{mvar|b}} の最大公約数を表す。{{math|gcd}} は {{en|greatest common divisor}} の略である。[[プログラミング言語]]の数学ライブラリにおいて、最大公約数を与える関数（[[サブルーチン]]）が <code>gcd</code> としてしばしば定義される。

! <math>\gcd(\bullet,\bullet)</math>

{| class="wikitable" style="width:90%"

! style="width:15%" | 記号 !! 意味

! width="60%" | 解説

! [[0|<math>0</math>]]

| rowspan="2" | [[零元]]

| rowspan="2" | 加法的代数系の[[単位元]]を {{math|0}} あるいは {{math|0<{{sub>|''S''</sub>}}}} と書く。

! [[O|<math>O</math>]]

! [[1|<math>1</math>]]

| [[単位元|乗法単位元]]

| 乗法的代数系の単位元を 1 あるいは {{math|1<{{sub>|''S''</sub>}}}} と書く。

! [[E|<math>e</math>]]

| 冪等元

| 環の冪等元をしばしば ''{{mvar|e''}} で表す。

{| class="wikitable" style="width:90%"

! style="width:15%" | 記号 !! 意味

! style="width:60%" | 解説

! <math>\operatorname{abs}(|\bullet)|</math>

! [[双柱|<math>\|operatorname{abs}(\bullet\|)</math>]]

! [[双柱|<math>\Re|\bullet\|</math>]]

! <math>\operatorname{Re}\bullet</math>

! <math>\Imoperatorname{Re}\bullet</math>

! <math>\operatorname{Im}\bullet</math>

! [[オーバーライン|<math>\overlineoperatorname{Im}\bullet}</math>]]

! [[オーバーライン|<math>\operatornameoverline{deg}\bullet}</math>]]

|複素数 多項式 ''f''{{mvar|z}} に対して、deg<math>\bar ''f''z</math> はその次共役複素数を表す。

! [[根号|<math>\sqrtoperatorname{\bulletdeg},\sqrt[\bullet]{\bullet}</math>]]

! [[根号|<math>\langlesqrt{\bullet},\sqrt[\bullet]{\ranglebullet}</math>]]

! <math>(\langle\bullet,\bullet)\rangle</math>

{| class="wikitable" style="width:90%"

! style="width:15%" | 記号 !! 意味

! style="width:60%" | 解説

|-

! <math>\dim_\bullet \bullet</math>

| [[次元]] || [[ベクトル空間]] ''{{mvar|V''}} に対し、「{{math|dim&thinsp;''V''}}」は ''{{mvar|V''}} の次元を表す。

! <math>|\bullet|</math>

| rowspan="2" | [[行列式]]

| rowspan="2" | {{Unicodemath|{{abs|&#124;''X''&#124;}}}} は[[正方行列]] ''{{mvar|X''}} の行列式である。

! <math>\det(\bullet)</math>

! <math>\operatorname{tr}(\bullet)</math>

| [[跡 (線型代数学)|跡]]

| {{math|tr(''X'')}} は正方行列 ''{{mvar|X''}} の跡である。

! <math>{}^t\bullet, \bullet^t</math>

| [[転置行列|転置]]

| <{{mvar|{{sup>|t</sup>''}}X''}} は行列 ''{{mvar|X''}} の転置行列である。

! <math>\operatorname{rank}\bullet</math>

| [[行列の階数|階数]] || [[線形写像]] {{mvar|φ}} に対して、{{math|rank &thinsp;''φ''}} は {{math|dim&thinsp;ImageIm(''φ'')}} を表す。また、行列 ''{{mvar|A''}} に対して、{{math|rank&thinsp;''A''}} は ''{{mvar|A''}} の階数を表す。

! <math>\operatorname{Ker}\bullet,\ \ker\bullet</math>

| [[核 (代数学)|核]], 、[[零空間]]

| [[群 (数学)|群]]や[[環 (数学)|環]]の[[準同型]]、ベクトル空間の間の線形写像 ''{{mvar|φ''}} に対して、{{math|Ker &thinsp;''φ''}} はその準同型の核を表す。

! <math>\operatorname{Im}\bullet,\ \operatorname{im}\bullet</math>

| [[像 (数学)|像]]

| [[群 (数学)|群]]や[[環 (数学)|環]]の[[準同型]]、ベクトル空間の間の線形写像 ''{{mvar|φ''}} に対して、{{math|Im &thinsp;''φ''}} はその準同型の像を表す。

! <math>\operatorname{Hom}_\bullet(\bullet,\bullet)</math>

| [[準同型]]の[[集合]]

| {{math|Hom<{{sub>|'''K'''</sub>}}(''F'', ''G'')}} は、作用域 {{mathmathbf|'''K'''}} のある代数系 {{mathmath2|''F'', ''G''}} の間の作用準同型 ({{en|homomorphism}}) 全体からなる集合を表す。

! <math>\operatorname{Aut}(\bullet)</math>

| [[自己同型群]]

| {{math|Aut(''G'')}} は、{{mvar|G}} のそれ自身に対する[[同型]] ({{en|automorphism}}) 全体からなる[[群 (数学)|群]]を表す。

! <math>\operatorname{Inn}(\bullet)</math>

| 内部自己同型群

| {{math|Inn(''G'')}} は、{{mvar|G}} の[[内部自己同型]] ({{en|inner automorphism}}) 全体からなる[[群 (数学)|群]]を表す。

! <math>\operatorname{End}(\bullet)</math>

| [[自己準同型]]

| {{math|End(''G'')}} は、{{mvar|G}} のそれ自身に対する準同型 (endomorphism) 全体からなる集合（[[モノイド]]）を表す。

{| class="wikitable" style="width:90%"

! style="width:15%" | 記号 !! 意味

! style="width:60%" | 解説

! <math>\langle \bullet \rangle</math>

| [[生成 (数学)|生成]]

! <math>(\bullet)</math>

| 生成する[[イデアル]] || {{math|(''a'', ...)}} は {{math|''a'', ...}} の生成するイデアル

! <math>K[\bullet]</math>

| [[多項式環]]、生成する環 || {{mvar|K}} を[[可換環]]とするとき、{{math|''K''[''x'', ...]}} は {{mvar|K}} と {{math|{''x'', ...}}} を含む最小の[[環 (数学)|環]]。生成系が[[不定元]]のみからなれば多項式の環である。

! <math>K(\bullet)</math>

| 有理関数環、生成する体 || {{mvar|K}} を[[可換体]]とするとき、{{math|'''K'''(''x'', ...)}} は {{mvar|K}} と {{math|{''x'', ...}}} を含む最小の[[体 (数学)|体]]。生成系が[[不定元]]のみからなれば有理式の体である。

! <math>K\langle\bullet\rangle</math>

| 非可換多項式環、生成する環 || {{mvar|K}} を非可換環とするとき、{{math|''K''&lang;''x'', ...&rang;}} は {{mvar|K}} と {{math|{''x'', ...}}} を含む最小の環。