「余因子行列」の版間の差分

余因子行列は、[[外積代数]]の抽象的な用語を使うことで表示することができる。{{mvar|V}} を {{mvar|n}}次元[[ベクトル空間]]とする。The ベクトルの外積 defines a bilinear pairing

:<math>V \times \wedge^{n-1} V \to \wedge^n V.</math>

:<math>\phi \colon V\ \xrightarrow{\cong}\ \operatorname{Hom}(\wedge^{n-1} V, \wedge^n V).</math>

:<math>\phi_\mathbf{v}(\alpha) = \mathbf{v} \wedge \alpha.</math>

{{math2|''T'' : ''V'' → ''V''}} を線形変換とする。{{mvar|T}} の{{math|(''n'' &minus; 1)}}次外冪による[[引き戻し]]は induces [[射 (圏論)|射]] of {{math|Hom}} spaces. {{mvar|T}} の'''余因子変換''' is the composite

:<math>V\ \xrightarrow{\phi}\ \operatorname{Hom}(\wedge^{n-1} V, \wedge^n V)\ \xrightarrow{(\wedge^{n-1} T)^*}\ \operatorname{Hom}(\wedge^{n-1} V, \wedge^n V)\ \xrightarrow{\phi^{-1}}\ V.</math>

 

:<math>\{\mathbf{e}_1 \wedge \dots \wedge \hat\mathbf{e}_k \wedge \dots \wedge \mathbf{e}_n\}_{k=1}^n.</math>

{{math|'''R'''{{sup|''n''}}}} の基底元 {{math|'''e'''{{sub|''i''}}}} を固定する。{{math|'''e'''{{sub|''i''}}}} の[[像 (数学)|像]] under <math>\phi</math> is determined by where it sends basis vectors:

 

If {{mvar|V}} is endowed with an inner product and a volume form, then the map {{mvar|φ}} can be decomposed further. In this case, {{mvar|φ}} can be understood as the composite of the [[ホッジ双対]] and dualization. Specifically, if {{math|ω}} is the volume form, then it, together with the inner product, determines an isomorphism

This induces an isomorphism

A vector {{math|'''v'''}} in {{math|'''R'''{{sup|''n''}}}} corresponds to the linear functional

By the definition of ホッジ双対, this linear functional is dual to {{math|*'''v'''}}. That is, {{math|ω{{sup|∨}} ∘ φ}} equals {{math|'''v''' ↦ *'''v'''{{sup|∨}}}}.