「小行列」の版間の差分

行列 {{math|''A'' ∈ Mat(''m'', ''n''; ''K'')}} が[[行列の階数|階数]] {{mvar|r}} を持つならば、正方小行列 {{math|''A{{sub|IJI J}}'' ∈ Mat(''r''; ''K'')}} が存在して {{math|1=rank(''A{{sub|IJI J}}'') = rank(''A'')}} かつ {{math|[[行列式|det]] ''A{{sub|IJI J}}'' &ne; 0}} とできる<ref>{{Literatur|Autor=Bosch|Titel=Lineare Algebra|Seiten=146}}</ref>。そのような小行列は、例えば[[ガウス消去|ガウスの消去法]]などを用いて計算できる。正方小行列の行列式は[[小行列式]]と呼ばれ、主小行列の行列式は主小行列式と呼ばれる。正方行列 {{mvar|A}} の {{mvar|A{{sub|iji j}}}} の形の小行列の行列式に交代符号を与えれば、もとの行列の[[余因子]]

: <math>\tilde{a}_{iji j} = (-1)^{i+j} \det(A_{iji j})</math>

が得られ、[[余因子行列]] {{math|1={{tilde|''A''}} {{coloneqq}} ({{tilde|''a''}}{{sub|''iji j''}})}} は {{mvar|A}} の[[逆行列]]を陽に計算するために用いることができる。また行列式の計算に関する[[余因子展開|ラプラス展開定理]]や二つの行列の[[行列の積|積]]の行列式に関する[[ビネ&ndash;コーシーの定理]]などにおいても小行列式は重要な役割を果たす。