「連続 (数学)」の版間の差分
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{{Calculus}}
[[数学]]において、'''連続'''（れんぞく、{{Lang-en-short|''continuous''}}）および'''連続性'''（れんぞくせい、{{Lang-en-short|''continuity''|links=no}}）とは、点の[[集合]]が切れていないことを表す概念である。それの厳密な定義は[[極限]]によって定式化される。数学における連続の概念は、[[位相空間]]の間の[[写像]]に対して拡張され、[[開集合]]などといった位相的な概念を一定の方法で保つという条件によって連続性の概念が定められる。これは異なる位相空間の間の関係を表す最も基本的な枠組みである{{Efn2|日常語としては「連続」が「切れずに繋がっている」という意味で使われることがあるが、位相空間の性質として「切れずに繋がっている」ということを表す概念は「[[連結空間|連結]]性」である。事実として「連結[[領域 (解析学)|領域]]の連続像は必ず連結」であり、従って連結な定義域を持つ連続函数の[[グラフ (関数)|グラフ]]は文字通り「切れずに繋がっている」ことになるが、それは連続性の本質ではない。}}。
{{See also|連続写像}}
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:<math>\lim_{x\to x_0} f(x) = f(x_0)</math>
これは[[イプシロン-デルタ論法|ε-δ論法]]を用いれば次のように定式化できる：
:任意の正の数 {{mvar|ε}} に対して、ある正の数 {{mvar|δ}} が存在し、{{math|''x''{{sub|0}}}} と {{mvar|δ}}
:<math>{}^{\forall} \varepsilon >0,{}^{\exists} \delta>0 \;\text{s.t.}\; {}^{\forall} x\; [\ |x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon]</math>
また、関数 {{math|''f''(''x'')}} がある[[区間 (数学)|区間]] ''I'' で連続であるとは、''I'' に属するそれぞれの点で連続であることを言う：
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