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[[軌道要素]]と[[人工衛星の軌道要素]], [[天体力学]], [[ハロー軌道]], [[断熱不変量]], [[熱力学第二法則]], [[ルジャンドル変換]], [[凸解析]], [[古典電子半径]], [[f(R)重力]], [[宇宙のインフレーション]], [[重力レンズ]]とその周辺 ([[弱い重力レンズ]]) など
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[[強いCP問題]]
== 数学的定式化 ==
=== <math>U(1)_A</math> 問題 ===
[[アップクォーク]]と[[ダウンクォーク]]は質量ゼロ (massless) であるとみなすことができる{{Sfn|Weinberg|2005|p=244}}。このとき、QCDラグランジアンはカイラル変換
{{Indent|<math>u \mapsto e^{i \gamma_5 \alpha} u , \ \ d \mapsto e^{i \gamma_5 \alpha} d</math>}}
(<math>\alpha</math> は変換のパラメータ) に関する対称性 (<math>U ( 1 )_A</math> 対称性) を持つ{{Sfn|Weinberg|2005|p=244}}{{Sfn|Kuster et al.|2008|p=3}}。この対称性が破れていないならばハドロンのスペクトルにパリティ二重項が存在するはずであるものの、そのような二重項は観測されていない{{Sfn|Weinberg|2005|p=244}}。この対称性が[[自発的対称性の破れ|自発的に破れている]]とすると、[[南部・ゴールドストーン粒子]]として[[パイ中間子|π中間子]]と同程度以下の質量を持つ[[アイソスピン|アイソスカラー]]の擬スカラー粒子が存在するはずであるが{{Sfn|Weinberg|2005|pp=244-246}}、やはりそのような粒子は観測されていない{{Sfn|Weinberg|2005|p=246}}。この問題を[[スティーヴン・ワインバーグ]]は1975年に <math>U(1)</math> 問題と命名した{{Sfn|Kuster et al.|2008|p=3}}<ref name="Weinberg1975">{{cite journal|last1=Weinberg|first1=Steven|title=The U(1) problem|journal=Physical Review D|volume=11|issue=12|year=1975|pages=3583–3593|issn=0556-2821|doi=10.1103/PhysRevD.11.3583}}</ref>。
<math>U(1)_A</math> 問題は1976年に[[ヘーラルト・トホーフト]]によって{{仮リンク|インスタントン|en|Instanton}}を考慮することによって解決された{{Sfn|Kuster et al.|2008|p=3}}{{Sfn|Weinberg|2005|p=450}}<ref name="'t Hooft1976a">{{cite journal |last1='t Hooft|first1=G. |title=Symmetry Breaking through Bell-Jackiw Anomalies|journal=Physical Review Letters |volume=37|issue=1|year=1976|pages=8–11 |issn=0031-9007 |doi=10.1103/PhysRevLett.37.8}}</ref><ref name="'t Hooft1976b">{{cite journal |last1='t Hooft |first1=G. |title=Computation of the quantum effects due to a four-dimensional pseudoparticle |journal=Physical Review D |volume=14|issue=12|year=1976|pages=3432–3450 |issn=0556-2821|doi=10.1103/PhysRevD.14.3432}}</ref>。
axial anomaly
=== <math>\theta</math>-真空と strong CP 問題 ===
== Peccei-Quinn 機構 ==
strong CP 問題を解決するモデルとしては以下の選択肢がある{{Sfn|Kuster et al.|2008|p=6}}。
# 型破りな理論
# CP対称性の自発的破れ
# 付加的なカイラル対称性
このうち第一の選択肢については説得力のあるモデルがないため、第二の選択肢についてはCP対称性をラグランジアンのレベルで破る[[小林・益川理論]]の成功のため、いずれも望みが薄いと Peccei は指摘している{{Sfn|Kuster et al.|2008|p=7}}。第三の付加的なカイラル対称性については、さらに次のふたつの可能性がある。
# アップクォークの質量はゼロである。
# 標準モデルにひとつの大域的 <math>U(1)</math> 対称性を追加する。
このうち前者は実験的に棄却されている。後者の可能性が1977年に [[:en:Roberto Peccei|Roberto Peccei]] と [[:en:Helen Quinn|Helen Quinn]] によって提案された{{仮リンク|Peccei-Quinn機構|en|Peccei–Quinn theory}}である<ref>{{cite journal |last1=Peccei |first1= Roberto D. |author-link1=Roberto Peccei |last2=Quinn |first2= Helen R. |author-link2=Helen Quinn |date=20 June 1977 |title=''CP'' Conservation in the Presence of Pseudoparticles |journal=[[Physical Review Letters]] |volume=38 |issue=25 |pages=1440–1443 |doi=10.1103/PhysRevLett.38.1440 |bibcode=1977PhRvL..38.1440P |url=https://www.researchgate.net/publication/248549883}}</ref><ref>{{cite journal |last1=Peccei |first1=Roberto D. |author-link1=Roberto Peccei |last2=Quinn |first2=Helen R. |author-link2=Helen Quinn |date=15 September 1977 |title=Constraints imposed by ''CP'' conservation in the presence of pseudoparticles |journal=[[Physical Review D]] |volume=16 |issue=6 |pages=1791–1797 |doi=10.1103/PhysRevD.16.1791 |bibcode=1977PhRvD..16.1791P}}</ref>。
Peccei-Quinn 機構では <math>U ( 1 )_\mathrm{PQ}</math> と呼ばれる大域対称性を導入し、それが自発的に破れることによって[[アクシオン]]として知られる南部・ゴールドストーン粒子が導入される。
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[[アクシオン]]
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* {{Cite book |title=Axions: Theory, Cosmology, and Experimental Searches |editor=Markus Kuster, Georg Raffelt & Berta Beltrán |doi=10.1007/978-3-540-73518-2 |publisher=Springer |date=2008 |isbn=978-3-540-73517-5 |ref={{SfnRef|Kuster et al.|2008}} }}
* {{Cite journal |last1=Marsh |first1=David J.E. |title=Axion cosmology |journal=Physics Reports |volume=643 |year=2016 |pages=1–79 |issn=03701573 |doi=10.1016/j.physrep.2016.06.005 |ref=harv}}
* {{Cite book |title=The Quantum Theory of Fields, Volume 2: Modern Applications |first=Steven |last=Weinberg |publisher=Cambridge University Press |date=2005 |isbn=978-0521670548 |doi=10.1017/CBO9781139644174 |ref=harv}}
* {{Cite book |title=Quantum Field Theory |first=Mark |last=Srednicki |publisher=Cambridge University Press |date=2007 |isbn=978-0521864497 |doi=10.1017/CBO9780511813917 |ref=harv}}
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