「トルマン・オッペンハイマー・ヴォルコフ方程式」の版間の差分

m
編集の要約なし
m
'''トルマン・オッペンハイマー・ヴォルコフ方程式'''({{lang-en|Tolman-Oppenheimer-VolkoffTolman–Oppenheimer–Volkoff equation}})は[[宇宙物理学]]において、[[一般相対性理論]]での静的重力平衡にある等方な球対称な物質の構造を決定する方程式である。方程式は次の形である<ref name="ov">[http://prola.aps.org/abstract/PR/v55/i4/p374_1 On Massive Neutron Cores], J. R. Oppenheimer and G. M. Volkoff, ''Physical Review'' '''55''', #374 ([[2月15日|February 15]], [[1939年|1939]]), pp. 374&ndash;381.</ref>。
 
:<math>\frac{dP(r)}{dr}=-\frac{G}{r^2}\left[\rho(r)+\frac{P(r)}{c^2}\right]\left[M(r)+4\pi r^3 \frac{P(r)}{c^2}\right]\left[1-\frac{2GM(r)}{c^2r}\right]^{-1} \ .</math>
 
ここで''r''は球面座標での変数である。そして、''&rho;''(''r''<sub>0</sub>) と ''P''(''r''<sub>0</sub>)はそれぞれ''r''=''r''<sub>0</sub>の位置の密度と圧力である。''M''(''r''<sub>0</sub>)は距離が離れた観測者が重力場から感じる半径''r''=''r''<sub>0</sub>の中にある合計質量である。それは''M''(0)=0 と次の式を満たす<ref name="ov" />。
 
:<math>\frac{dM(r)}{dr}=4 \pi \rho(r) r^2 \ .</math>
:<math>ds^2=e^{\nu(r)} c^2 dt^2 - (1-2GM(r)/rc^2)^{-1} dr^2 - r^2(d\theta^2 + \mathrm{sin}^2 \theta d\phi^2) \ ,</math>
 
ここで''&nu;''(''r'')は条件により決定される定数<ref name="ov" />である。
 
:<math>\frac{d\nu(r)}{dr}=-\frac{2}{P(r)+\rho(r)c^2} \frac{dP(r)}{dr}.</math>
 
[[状態方程式]] ''F''(''&rho;'', ''P'')=0 が与えられたとき、密度と圧力を関係付け、・オッペンハイマー・ヴォルコフ方程式は平衡にある等方な球対称な物質の構造を完全に決定する。もし1/''c''<sup>2</sup>の大きさの項を無視するとき、トルマン・オッペンハイマー・ヴォルコフ方程式は、ニュートンの[[静水圧方程式]](hydrostatic equation)となり、平衡にある等方な球対称な物質で一般相対性理論の補正が重要でないときに用いられる。
 
もし真空中の球面境界である物質の模型で方程式が使われるとき、圧力が無い条件''P''(''r'')=0とe<sup>''&nu;''(''r'')</sup>=1-2GM1-2''GM''(''r'')/''rc''<sup>2</sup>が境界条件として課される。二番目の境界条件は真空の静的球対称場の方程式解は一意に次の[[シュヴァルツシルト計量]]であることから課される。
 
:<math>ds^2=(1-2GM_0/rc^2) c^2 dt^2 - (1-2GM_0/rc^2)^{-1} dr^2 - r^2(d\theta^2 + \mathrm{sin}^2 \theta d\phi^2) \ .</math>
 
ここで''M''<sub>0</sub>はもう一度説明すると遠くに離れた観測者が重力場から感じる質量の合計である。境界を''r''=''r''<sub>B</sub>とすると、''M''(''r'')の定義は次の式を要求する。
 
:<math>M_0=M(r_B)=\int_0^{r_B} 4\pi \rho(r) r^2\, dr \ .</math>
:<math>\delta M=\int_0^{r_B} 4\pi \rho(r) r^2((1-2GM(r)/rc^2)^{-1/2}-1)\, dr,</math>
 
この差は重力の束縛エネルギーを''c''<sup>2</sup>で割ったものとなる。
 
== 歴史 ==